重量分析の換算係数

ひょう量形（ $AgCl$ , $F e_{2} O_{3}$ , $M g_{2} P_{2} O_{7}$ など）の質量から、原子の数を合わせた換算係数（例: $\frac{2 M ( F e _{3} O _{4} )}{3 M ( F e _{2} O _{3} )}$ ）を使って目的成分の質量・含有率（ $P_{2} O_{5}$ 換算などを含む）を求められる

前提

化学式に含まれる原子・イオンの数（高校化学物質量と化学反応式）

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原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
イオンと電離・電解質（中学理科化学分野の用語と知識）
化学式に含まれる原子・イオンの数（高校化学物質量と化学反応式）

説明

重量分析では、試料中の目的成分を沈殿させ、乾燥や強熱で組成の決まった化合物（ひょう量形。 $AgCl$ 、 $F e_{2} O_{3}$ 、 $M g_{2} P_{2} O_{7}$ など）にしてから質量をはかります。この技能では、ひょう量形の質量に「換算係数」を掛けて、目的成分（ $Cl$ 、 $F e_{3} O_{4}$ 、 $MgO$ 、 $P_{2} O_{5}$ など）の質量を求め、さらに試料に対する含有率を求めます。ひょう量形と目的成分が別の化合物でも、共通する原子の数を合わせることで一度に換算できます。

なぜそうしてよいのか

沈殿・強熱の操作のあいだ、注目する元素（Fe、Mg、P など）の原子は失われも増えもしません。したがって、ひょう量形に含まれる注目元素の物質量と、もとの試料中で目的成分の形で含まれていた注目元素の物質量は等しくなります。

たとえば $F e_{3} O_{4}$ を $F e_{2} O_{3}$ としてはかったとき、ひょう量形の質量を $m$ とすると、 $F e_{2} O_{3}$ は $\frac{m}{M ( F e _{2} O _{3} )}$ mol、その中の Fe は $\frac{2 m}{M ( F e _{2} O _{3} )}$ mol です。 $F e_{3} O_{4}$ は 1 mol に Fe を 3 mol 含むので、 $F e_{3} O_{4}$ の物質量は $\frac{2 m}{3 M ( F e _{2} O _{3} )}$ 、質量は $m \times \frac{2 M ( F e _{3} O _{4} )}{3 M ( F e _{2} O _{3} )}$ です。この $m$ に掛ける比が換算係数です。

一般に、目的成分 1 単位に注目元素が $a$ 個、ひょう量形 1 単位に $b$ 個含まれるなら、両者を同じ数の原子で比べるために、換算係数は $\frac{b M ( 目的成分 )}{a M ( ひょう量形 )}$ となります。分子と分母で注目元素の原子数がそろっている（どちらも $ab$ 個分）ことが、この係数の意味です。

手順

ひょう量形と目的成分に共通して含まれ、操作中に保存される注目元素を決める
目的成分 1 単位あたりの注目元素の数 $a$ と、ひょう量形 1 単位あたりの数 $b$ を化学式から読み取る
注目元素の原子数がそろうように、換算係数 $F = \frac{b M ( 目的成分 )}{a M ( ひょう量形 )}$ をつくる
目的成分の質量を $m (目的成分) = F \times m (ひょう量形)$ で求める
含有率を求めるときは、 $\frac{m ( 目的成分 )}{m ( 試料 )} \times 100$ を計算する

例題

マグネシウムを含む試料 $0.5000 g$ を溶かし、マグネシウムをすべて沈殿させて強熱したところ、 $M g_{2} P_{2} O_{7}$ が $0.4452 g$ 得られた。試料中のマグネシウムの含有率を $MgO$ に換算した質量パーセント（%）で、有効数字 3 桁で求めよ。式量は $M g_{2} P_{2} O_{7} = 222.6$ 、 $MgO = 40.30$ とする。

例題の解答

手順 1: 注目元素は Mg。

手順 2: 目的成分 $MgO$ は Mg を $a = 1$ 個、ひょう量形 $M g_{2} P_{2} O_{7}$ は $b = 2$ 個含む。

手順 3: 換算係数は
$F = \frac{2 M ( MgO )}{M ( M g _{2} P _{2} O _{7} )} = \frac{2 \times 40.30}{222.6} = 0.36208 \dots$

手順 4: $m (MgO) = 0.36208 \dots \times 0.4452 = 0.16120 g$ （確かめ: $M g_{2} P_{2} O_{7}$ は $\frac{0.4452}{222.6} = 2.000 \times 1 0^{- 3}$ mol、Mg は $4.000 \times 1 0^{- 3}$ mol、 $MgO$ は $4.000 \times 1 0^{- 3} \times 40.30 = 0.1612$ g）。

手順 5: $\frac{0.1612}{0.5000} \times 100 = 32.24 \dots \approx 32.2$ %。

答え: $32.2$

よくある誤り

原子数の比を掛けずに式量の比だけで $F = \frac{M ( MgO )}{M ( M g _{2} P _{2} O _{7} )}$ としてしまう誤り。 $M g_{2} P_{2} O_{7}$ 1 単位から $MgO$ が 2 単位できるので、正しくは $F = \frac{2 M ( MgO )}{M ( M g _{2} P _{2} O _{7} )}$ 。誤ると例題の答えが半分の $16.1$ % になる
原子数の比を逆に掛けてしまう誤り。 $F e_{2} O_{3}$ から $F e_{3} O_{4}$ に換算するとき $\frac{3 M ( F e _{3} O _{4} )}{2 M ( F e _{2} O _{3} )}$ とするのは誤りで、Fe の数をそろえて $\frac{2 M ( F e _{3} O _{4} )}{3 M ( F e _{2} O _{3} )}$ が正しい（分子と分母の Fe がどちらも 6 個分）
$P_{2} O_{5}$ 換算で、P の数を数え忘れる誤り。 $M g_{2} P_{2} O_{7}$ と $P_{2} O_{5}$ はどちらも P を 2 個含むので、換算係数は $\frac{M ( P _{2} O _{5} )}{M ( M g _{2} P _{2} O _{7} )}$ （Mg に注目した係数を使わない）
含有率を求めるとき、目的成分の質量ではなくひょう量形の質量を試料の質量で割ってしまう誤り。例題で $\frac{0.4452}{0.5000} \times 100 = 89.0$ % とするのは誤りで、先に換算係数を掛けて $\frac{0.1612}{0.5000} \times 100$ とする

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
鉄を含む試料 $0.500 g$ を酸に溶かし、含まれる鉄をすべて水酸化鉄(III) として沈殿させたのち、強熱して酸化鉄(III) $F e_{2} O_{3}$ に変えた。得られた $F e_{2} O_{3}$ の質量は $0.400 g$ であった。試料中の鉄 $Fe$ の含有率（質量パーセント、単位は %）を有効数字 3 桁で求めよ。原子量は $Fe = 56.0$ 、 $O = 16.0$ とし、試料中の鉄はすべて $F e_{2} O_{3}$ になったものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

混合物の重量分析（大学化学分析化学）