力のはたらきの問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学理科力のはたらき

水平な床の上に、直方体の物体 B を、縦 $10 cm$ 、横 $20 cm$ の面が下になるように置いた。物体 B の質量は $1800 g$ である。

次に、直方体の物体 A を、縦 $4 cm$ 、横 $5 cm$ の面が下になるように、物体 B の上面に置いた。物体 A の底面は、すべて物体 B の上面にのっている。物体 A, B はどちらも静止している。

このとき、物体 A が物体 B の上面におよぼす圧力と、物体 B が床におよぼす圧力が等しくなった。物体 A の質量は何 g ですか。

ただし、質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とし、物体 A, B が面におよぼす力は、それぞれの底面全体に一様にはたらくものとする。

AB5 cm20 cm

正面から見た図（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
圧力の比べ方と等しい条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

物体 A の質量を $x$ g として、2 つの圧力をそれぞれ $x$ を使った式で表し、等しいとおいて方程式をつくりましょう。

ヒント 2

物体 B が床をおす力は、B の重さだけでなく、上にのっている A の重さもふくみます。面積は $c m^{2}$ から $m^{2}$ に直しましょう（ $1 m^{2} = 10000 c m^{2}$ ）。

ヒント 3

A が B におよぼす圧力は $\frac{x}{100} \div 0.002 = 5 x$ Pa、B が床におよぼす圧力は $\frac{x + 1800}{100} \div 0.02$ Pa と表せます。

答えと解説

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200

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解説を読む

圧力は
$圧力 [Pa] = \frac{面を垂直におす力 [ N ]}{力がはたらく面積 [ m ^{2} ]}$
で求められる。

物体 A の質量を $x g$ とすると、物体 A にはたらく重力は $\frac{x}{100} N$ である。

物体 A が B におよぼす圧力

物体 A は静止しているので、A が B の上面をおす力は A の重さ $\frac{x}{100} N$ に等しい。力がはたらく面積は
$4 \times 5 = 20 c m^{2} = 0.002 m^{2}$
なので、圧力は
$\frac{x}{100} \div 0.002 = \frac{x}{100} \times 500 = 5 x [Pa]$

物体 B が床におよぼす圧力

物体 B は上に A をのせて静止しているので、B が床をおす力は A と B の重さの和で
$\frac{x + 1800}{100} N$
である。面積は
$10 \times 20 = 200 c m^{2} = 0.02 m^{2}$
なので、圧力は
$\frac{x + 1800}{100} \div 0.02 = \frac{x + 1800}{100} \times 50 = \frac{x + 1800}{2} [Pa]$

2 つの圧力が等しいことから
$5 x = \frac{x + 1800}{2}$
両辺を 2 倍して
$10 x = x + 1800$
$9 x = 1800$
$x = 200$

（確かめ：A の重さは $2 N$ で、 $2 \div 0.002 = 1000 Pa$ 。床をおす力は $2 + 18 = 20 N$ で、 $20 \div 0.02 = 1000 Pa$ 。等しくなっている。）

よって、物体 A の質量は $200 g$ である。

別解

物体 A の質量を $m g$ とする。

物体 A が B の上面を押す力は $\frac{m}{100} N$ で、接する面積は $4 \times 5 = 20 c m^{2}$ である。したがって圧力は $\frac{m}{100} \div 20 = \frac{m}{2000} N/c m^{2}$ となる。

物体 B が床を押す力は、A と B の重さの合計で $\frac{m + 1800}{100} N$ である。接する面積は $10 \times 20 = 200 c m^{2}$ なので、圧力は $\frac{m + 1800}{100 \times 200} = \frac{m + 1800}{20000} N/c m^{2}$ となる。

2 つの圧力が等しいので、
$\frac{m}{2000} = \frac{m + 1800}{20000}$
両辺に $20000$ をかけて $10 m = m + 1800$ 。よって $9 m = 1800$ 、 $m = 200$ 。

検算: A の圧力は $2 N \div 20 c m^{2} = 0.1 N/c m^{2}$ 。B の圧力は $(200 + 1800) g = 20 N$ より $20 \div 200 = 0.1 N/c m^{2}$ 。2 つは等しい。

答え: $200 g$

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