圧力の比べ方と等しい条件

物体の置き方（下にする面）を変えたときの圧力のちがいを比べ、物体を重ねたときの上の物体から下の物体への圧力と、下の物体が床におよぼす圧力が等しいという条件から、物体の長さ（高さ）や質量を 1 次方程式で求められる

前提

大気圧による力（中学理科天気とその変化）

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）

説明

同じ物体でも、どの面を下にして置くかで床をおす圧力が変わります。この技能では、置き方による圧力のちがいを比べたり、物体を重ねたときに「上の物体が下の物体をおす圧力」と「下の物体が床をおす圧力」が等しいという条件から、わからない質量や長さを 1 次方程式で求めたりできるようになります。れんがや直方体を積む問題、スポンジのへこみ方を比べる問題などで使います。

なぜそうしてよいのか

圧力は「面 $1 m^{2}$ あたりにはたらく力の大きさ」で、
$圧力〔 Pa 〕 = \frac{面を垂直におす力〔 N 〕}{力がはたらく面積〔 m ^{2} 〕}$
です（ $1 Pa = 1 N/m^{2}$ ）。床に置いた物体が床をおす力は、その物体（と上にのっている物体）にはたらく重力の大きさに等しくなります。置き方を変えても物体の重さは変わらないので、おす力は同じです。変わるのは下になる面の面積だけなので、面積が小さい面を下にするほど圧力は大きくなります。面積が $\frac{1}{2}$ になれば圧力は 2 倍になる、というように、力が同じなら圧力は面積に反比例します。

物体を重ねたときは、それぞれの面ではたらく力と面積を分けて考えます。上の物体 A が下の物体 B をおす力は A の重さだけで、面積は A と B がふれ合っている面（A の底面）です。一方、B が床をおす力は A と B の重さの合計で、面積は B の底面です。「この 2 つの圧力が等しい」という条件があれば、わからない量を文字でおいて
$\frac{A の重さ}{A の底面積} = \frac{A の重さ + B の重さ}{B の底面積}$
という式を立てることができ、これを 1 次方程式として解けば質量や長さが求まります。

手順

それぞれの物体の質量を重力の大きさ〔N〕に直す（質量 100 g で 1 N）
圧力を考える面ごとに、その面をおす力を決める。上の物体が下の物体をおす力は上の物体の重さだけ、下の物体が床をおす力は上と下の重さの合計
それぞれの面積を求め、 $cm^{2}$ を $m^{2}$ に直す（ $1 cm^{2} = 0.0001 m^{2}$ ）
圧力 $= \frac{力}{面積}$ を計算する。わからない量は $x$ などの文字でおく
「2 つの圧力が等しい」という条件から等式を立て、1 次方程式を解く。置き方を比べるだけのときは、力が同じなら面積が小さいほうが圧力が大きいことを使う

例題

質量 100 g の物体にはたらく重力の大きさを 1 N とする。水平な床の上に直方体 B を置き、その上に直方体 A をのせた。A は質量 600 g で、B とふれ合っている面（A の底面）は縦 5 cm、横 4 cm の長方形である。B の床とふれ合っている面（B の底面）は縦 10 cm、横 8 cm の長方形である。A が B をおす圧力と、B が床をおす圧力が等しいとき、B の質量は何 g ですか。

例題の解答

手順 1：A の質量 600 g より、A にはたらく重力は $600 \div 100 = 6$ N。B の質量を $x$ g とすると、B にはたらく重力は $\frac{x}{100}$ N。

手順 2：A が B をおす力は A の重さだけで 6 N。B が床をおす力は A と B の重さの合計で $6 + \frac{x}{100}$ N。

手順 3：A の底面積は $5 \times 4 = 20 cm^{2} = 0.002 m^{2}$ 。B の底面積は $10 \times 8 = 80 cm^{2} = 0.008 m^{2}$ 。

手順 4：A が B をおす圧力は $\frac{6}{0.002} = 3000$ Pa。B が床をおす圧力は $\frac{6 + \frac{x}{100}}{0.008}$ Pa。

手順 5：2 つの圧力が等しいので
$\frac{6 + \frac{x}{100}}{0.008} = 3000$
両辺に 0.008 をかけて $6 + \frac{x}{100} = 24$ 、よって $\frac{x}{100} = 18$ 、 $x = 1800$ 。

B の質量は 1800 g である。

答え: $1800$

よくある誤り

B が床をおす力を B の重さだけにしてしまう誤り。例題で $\frac{x /100}{0.008} = 3000$ として $x = 2400$ g とする。正しくは上にのった A の重さも加えて $\frac{6 + x /100}{0.008} = 3000$ とし、 $x = 1800$ g
A が B をおす圧力の面積を B の上の面全体にしてしまう誤り。力がはたらくのはふれ合っている面だけなので、正しくは A の底面積 $20 cm^{2}$ を使う
$cm^{2}$ を $m^{2}$ に直すときに 100 でわってしまう誤り。 $20 cm^{2} = 0.2 m^{2}$ としてしまう。正しくは $1 m^{2} = 100 \times 100 = 10000 cm^{2}$ なので $20 cm^{2} = 0.002 m^{2}$
置き方を変えると力（重さ）も変わると考えてしまう誤り。どの面を下にしても床をおす力は同じで、変わるのは面積だけ。面積が 2 倍の面を下にすれば、圧力は $\frac{1}{2}$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
底面が縦 $4 cm$ 、横 $5 cm$ の長方形で、質量が $400 g$ の直方体 A と、底面が 1 辺 $10 cm$ の正方形の直方体 B があります。水平な床の上に B を置き、その上面の中央に A を、A の底面が下になるように重ねて置いたところ、A が B をおす圧力と、B が床をおす圧力が等しくなりました。A の底面はすべて B の上面にふれていて、B の底面はすべて床にふれています。直方体 B の質量は何 g ですか。ただし、質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とします。
BA10 cm4 cm
正面から見た図

圧力の比べ方と等しい条件

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題