力のはたらきの問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科力のはたらき

質量 $3 kg$ の直方体の物体がある。この直方体の、たがいに大きさの異なる 3 種類の面を、面 P、面 Q、面 R とよぶことにする（面 P、面 Q、面 R は 1 つの頂点に集まる 3 つの面である）。

この物体を水平な床の上に、面 P を下にして置くと床がおされる圧力は $1500 Pa$ 、面 Q を下にして置くと $3000 Pa$ 、面 R を下にして置くと $6000 Pa$ であった。

物体は全体が同じ物質でできていて、内部にすき間はないものとする。質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とする。この物体をつくる物質の密度は何 $g/c m^{3}$ ですか。

面 P面 Q面 R

面の位置関係を示す図（辺の長さの比は正確ではありません）

この問題で使うもの

重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
圧力の比べ方と等しい条件（説明と入口の問題）
密度の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

どの面を下にしても、床をおす力は物体の重さと同じです。圧力の式を変形して、それぞれの面の面積を求めましょう。

ヒント 2

面積は $力 \div 圧力$ で求められます。3 辺を $a, b, c$ とすると、3 つの面の面積は $ab$ , $b c$ , $c a$ です。

ヒント 3

面積は $200 c m^{2}$ , $100 c m^{2}$ , $50 c m^{2}$ です。 $ab \times b c \times c a = (ab c)^{2}$ を使って体積 $ab c$ を求めましょう。

答えと解説

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3

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解説を読む

それぞれの面の面積

物体の質量は $3 kg = 3000 g$ なので、物体にはたらく重力は $30 N$ である。どの面を下にしても、物体は床を $30 N$ の力でおす。圧力 $=$ 力 $\div$ 面積より、面積 $=$ 力 $\div$ 圧力なので
$面 P : \frac{30}{1500} = 0.02 (m^{2}) = 200 (c m^{2})$
$面 Q : \frac{30}{3000} = 0.01 (m^{2}) = 100 (c m^{2})$
$面 R : \frac{30}{6000} = 0.005 (m^{2}) = 50 (c m^{2})$
（ $1 m^{2} = 10000 c m^{2}$ を使った。）

辺の長さと体積

直方体の 3 辺の長さを $a cm$ , $b cm$ , $c cm$ とし、面 P $= ab$ 、面 Q $= b c$ 、面 R $= c a$ とすると
$ab = 200, b c = 100, c a = 50$
3 つの式をかけ合わせると
$(ab c)^{2} = 200 \times 100 \times 50 = 1000000$
$ab c > 0$ なので $ab c = 1000$ 。よって体積は $1000 c m^{3}$ である。（実際、 $c = 1000 \div 200 = 5$ 、 $a = 1000 \div 100 = 10$ 、 $b = 1000 \div 50 = 20$ で、 $ab = 200$ , $b c = 100$ , $c a = 50$ を満たす。）

密度
$\frac{3000}{1000} = 3 (g/c m^{3})$
よって、物質の密度は $3 g/c m^{3}$ である。

別解

物体の質量は $3$ kg $= 3000$ g なので、重力の大きさは $3000 \div 100 \times 1 = 30$ N。床がおされる力は $30$ N で、どの面を下にしても同じ。
圧力 $=$ 力 $\div$ 面積より、面積 $=$ 力 $\div$ 圧力。
面 P: $30 \div 1500 = 0.02$ m² $= 200$ cm²
面 Q: $30 \div 3000 = 0.01$ m² $= 100$ cm²
面 R: $30 \div 6000 = 0.005$ m² $= 50$ cm²
直方体の3辺の長さを $x, y, z$ cm とし、面 P, Q, R の面積を $x y = 200$ , $y z = 100$ , $x z = 50$ とする（3つの面は1つの頂点に集まるので、この形で表せる）。
$x y \div y z = x \div z = 2$ より $x = 2 z$ 。これを $x z = 50$ に入れて $2 z^{2} = 50$ 、 $z^{2} = 25$ 、 $z = 5$ （ $z > 0$ ）。よって $x = 10$ 、 $y = 200 \div 10 = 20$ 。
確かめ: $y z = 20 \times 5 = 100$ ✓、 $x z = 10 \times 5 = 50$ ✓。
体積は $10 \times 20 \times 5 = 1000$ cm³。密度は質量 $\div$ 体積 $= 3000 \div 1000 = 3$ g/cm³。

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