力のはたらきの問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科力のはたらき

縦 $2 cm$ 、横 $4 cm$ 、高さ $8 cm$ の直方体の物体 A があり、その質量は $160 g$ である。また、物体 A と同じ物質でできた直方体の物体 B があり、B の底面は 1 辺 $10 cm$ の正方形で、高さは $h cm$ である。

水平な床の上に、B を正方形の面を下にして置き、B の上面の中央に、A を縦 $2 cm$ 、横 $4 cm$ の面を下にしてのせたところ、A が B の上面におよぼす圧力と、B が床におよぼす圧力が等しくなった。

物体 A, B はそれぞれ全体が同じ物質でできていて、内部にすき間はないものとする。質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とする。このとき、 $h$ の値は何 cm ですか。

10 cm

h cm

8 cm

2 cm

正面から見た図（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
圧力の比べ方と等しい条件（説明と入口の問題）
密度の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず A が B の上面におよぼす圧力を求めましょう。それが B が床におよぼす圧力と等しいことから、B が床をおす力がわかります。

ヒント 2

B が床をおす力は、A と B にはたらく重力の和です。また、A と B は同じ物質なので、A の質量と体積から密度を求めれば B の体積がわかります。

ヒント 3

A が B におよぼす圧力は $1.6 \div 8 = 0.2 N/c m^{2}$ なので、B が床をおす力は $0.2 \times 100 = 20 N$ です。ここから B の質量を求め、密度 $160 \div 64 g/c m^{3}$ を使って B の体積を出しましょう。

答えと解説

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7.36

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解説を読む

圧力は「面を垂直におす力の大きさ $\div$ 力がはたらく面積」で求められる。ここでは面積を $c m^{2}$ のまま使い、単位 $N/c m^{2}$ で比べる（両方の圧力を同じ単位で比べるので、これでよい）。

A が B におよぼす圧力

A の質量は $160 g$ なので、A にはたらく重力は $1.6 N$ である。A は静止しているので、この重力と同じ大きさの力で B の上面をおす。A が B とふれている面積は $2 \times 4 = 8 (c m^{2})$ なので、圧力は
$\frac{1.6}{8} = 0.2 (N/c m^{2})$

B が床をおす力

B が床におよぼす圧力も $0.2 N/c m^{2}$ で、B が床とふれている面積は $10 \times 10 = 100 (c m^{2})$ なので、床をおす力の大きさは
$0.2 \times 100 = 20 (N)$
B は上にのった A ごと床に支えられているので、床をおす力は A と B にはたらく重力の和に等しい。よって B にはたらく重力は $20 - 1.6 = 18.4 (N)$ であり、B の質量は $1840 g$ である。

B の高さ

A の体積は $2 \times 4 \times 8 = 64 (c m^{3})$ なので、A をつくる物質の密度は
$\frac{160}{64} = 2.5 (g/c m^{3})$
B も同じ物質なので、B の体積は
$\frac{1840}{2.5} = 736 (c m^{3})$
B の底面積は $100 c m^{2}$ なので
$h = \frac{736}{100} = 7.36$
よって $h$ は $7.36 cm$ である。

別解

物体 A の体積は $2 \times 4 \times 8 = 64$ cm³、質量は $160$ g なので、密度は $160 \div 64 = 2.5$ g/cm³。B は A と同じ物質なので、B の密度も $2.5$ g/cm³。
A にはたらく重力は $160 \div 100 \times 1 = 1.6$ N。A は縦 $2$ cm、横 $4$ cm の面（面積 $8$ cm²）を下にしてのっているので、A が B の上面におよぼす圧力は $1.6 \div 8 = 0.2$ N/cm²。
B の体積は $10 \times 10 \times h = 100 h$ cm³、質量は $2.5 \times 100 h = 250 h$ g、重力は $250 h \div 100 = 2.5 h$ N。
B が床におよぼす力は B と A の重力の合計で $2.5 h + 1.6$ N、B の底面積は $100$ cm² なので、床におよぼす圧力は $(2.5 h + 1.6) \div 100$ N/cm²。
圧力が等しいので $(2.5 h + 1.6) \div 100 = 0.2$ 。両辺に $100$ をかけて $2.5 h + 1.6 = 20$ 、 $2.5 h = 18.4$ 、 $h = 7.36$ 。
検算: $h = 7.36$ のとき B の重力は $2.5 \times 7.36 = 18.4$ N、合計 $20$ N、 $20 \div 100 = 0.2$ N/cm² となり、A の圧力 $0.2$ N/cm² と一致する。

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