力のはたらきの問題
2 本のばね A, B がある。
ばね A の上端を天井に固定し、下端におもりをつるして静止させたとき、ばね A 全体の長さは、質量 のおもりのとき 、質量 のおもりのとき であった。
ばね B の自然の長さは である。ばね B を水平な床の上に鉛直に立て、その上端に質量 のおもりをのせて静止させたところ、ばね B 全体の長さは になった。ばね B は、引いてのばしたときも押して縮めたときも、のびや縮みの長さは加えた力の大きさに比例し、同じ大きさの力ならのびと縮みの長さは等しい。ばね A ののびも、ばね A を引く力の大きさに比例する。
次に、天井から床までの高さが の場所で、ばね A の上端を天井に、ばね B の下端を床に固定した。そして、高さ 、質量 の直方体の物体 P の上面の中央にばね A の下端を、物体 P の下面の中央にばね B の上端をとりつけ、ばね A、物体 P、ばね B が一直線上に鉛直に並ぶようにして静止させた。
このとき、ばね A 全体の長さは何 cm ですか。ただし、質量 の物体にはたらく重力の大きさを とし、ばねの質量は無視できるものとする。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- 2 力のつり合いと作用・反作用（説明と入口の問題）
- ばねののびと力（フックの法則）（説明と入口の問題）
- ばねのつなぎ方とばねにはたらく力（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず、2 回の測定からばね A の自然の長さと、 あたりののびを求めます。ばね B も、 あたりの縮みを求めましょう。
ヒント 2
ばね A の長さを とすると、ばね B の長さは で表せます。物体 P にはたらく重力・ばね A の力・ばね B の力のつり合いを式にします。
ヒント 3
ばね A は あたり のび、自然の長さは です。ばね B は 縮めると で押し返します。ばね B が縮んでいるとすると、 となります。
答えと解説
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解説を読む
ばね A の性質
（）から （）に変えると、長さは から になった。力が 増えると長さが のびているので、ばね A は あたり のびる。 で のびて なので、自然の長さは である。
ばね B の性質
のおもりがばね B を押す力は で、縮みは である。したがって、ばね B は あたり 縮む（のびる）。つまり、ばね B を 縮めると、ばね B は の力で押し返す。
長さの関係
ばね A 全体の長さを とする。天井から床までが 、物体 P の高さが なので、ばね B 全体の長さは
である。
ばね A ののびは なので、ばね A が物体 P を上向きに引く力は である。
力のつり合い
ばね B が縮んでいると考える。縮みは なので、ばね B は物体 P を上向きに の力で押す。
物体 P は静止しているので、物体 P にはたらく力はつり合っている。物体 P にはたらく力は、下向きの重力 、上向きのばね A の力、上向きのばね B の力である。上向きの力の合計が下向きの力と等しいので
確かめ
ばね B の長さは で、自然の長さ より短い。したがって、ばね B が縮んでいるという考えと合っている。
このとき、ばね A は のびて上向きに で引き、ばね B は 縮んで上向きに で押す。上向きの力の合計は で、重力 とつり合っている。
なお、ばね B がのびていると考えても、ばね B は物体 P を下向きに で引くので、 となり、同じ が得られる。このときはばね B の長さが となって、のびているという考えと合わない。
よって、ばね A 全体の長さは である。
別解
ばね A：おもりが （）のとき 、（）のとき である。力が 増えると のびるので、 あたり のびる。自然の長さは 。
ばね B：（）で 縮むので、 あたり 、つまり あたり の力。
長さの関係：物体 P の高さが なので、 がばね A と B の長さの和である。
ばね A ののびを 、ばね B ののび（縮みなら負）を とすると、
より …①
力のつり合い：P の重力は （下向き）。ばね A が P を引き上げる力は （上向き）。ばね B がのびているとき P を下に引く力は （縮んでいれば上向きに押す）。したがって
…②
①を②に代入すると より （B は 縮む）、。
よってばね A 全体の長さは 。
検算：B の長さは で、 となり、床から天井までの高さに一致する。A が P を引き上げる力は 、B が押し上げる力は で、合計 となり P の重力とつり合う。