力のはたらきの問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科力のはたらき

水平な天井と水平な床があり、天井と床のあいだの距離は $43$ cm である。2 本のばね A, B と、質量 $300$ g の小さなおもり X を用意した。

ばね A：自然の長さは $20$ cm で、 $1$ N の力でのびる長さ（または縮む長さ）は $2$ cm である。
ばね B：自然の長さは $20$ cm で、 $1$ N の力でのびる長さ（または縮む長さ）は $1$ cm である。

ばね A の上端を天井に、ばね B の下端を床に固定し、ばね A の下端とばね B の上端をどちらもおもり X につないだ。ばね A, おもり X, ばね B が一直線上に鉛直に並んだ状態でおもり X が静止したとき、ばね A の長さは何 cm ですか。

ただし、質量 $100$ g の物体にはたらく重力の大きさを $1$ N とし、ばねの質量とおもり X の大きさは無視できるものとする。また、どちらのばねも、のびる場合も縮む場合も、ばねののび（縮み）は加えた力の大きさに比例するものとする。

ABX43 cm

ばねの長さ・おもりの位置は正確ではない

この問題で使うもの

重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
2 力のつり合いと作用・反作用（説明と入口の問題）
ばねののびと力（フックの法則）（説明と入口の問題）
ばねのつなぎ方とばねにはたらく力（説明と入口の問題）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ばね A の長さを $x$ cm とおくと、ばね B の長さも $x$ を使って表せる（天井と床のあいだは $43$ cm）。

ヒント 2

おもり X にはたらく力は、重力 $3$ N、ばね A の力、ばね B の力の 3 つで、これらがつり合っている。ばね B はのびているか縮んでいるかわからないので、まずのびていると考えて式を立てるとよい。

ヒント 3

ばね A が X を引く力は $\frac{x - 20}{2}$ N、ばね B ののびは $(43 - x) - 20$ cm である。 $\frac{x - 20}{2} = 3 + (23 - x)$ を解こう。

答えと解説

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解説を読む

ばね A の長さを $x$ cm とする。おもり X の大きさは無視できるので、ばね B の長さは $(43 - x)$ cm である。

それぞれのばねがおもり X におよぼす力

ばね A ののびは $(x - 20)$ cm。 $1$ N で $2$ cm のびるので、ばね A が X を上向きに引く力の大きさは $\frac{x - 20}{2}$ N である。
ばね B の長さは $(43 - x)$ cm なので、のびは $(43 - x) - 20 = (23 - x)$ cm。 $1$ N で $1$ cm のびるので、ばね B は X を下向きに $(23 - x)$ N の力で引く（この値が負になるときは、ばね B は縮んでいて、X を上向きにおしている）。
X にはたらく重力は $300 \div 100 = 3$ N（下向き）。

力のつり合い

X は静止しているので、上向きの力と下向きの力がつり合う。
$\frac{x - 20}{2} = 3 + (23 - x)$
両辺を $2$ 倍して
$x - 20 = 6 + 46 - 2 x$
$3 x = 72$
$x = 24$

確かめ

ばね A は $24 - 20 = 4$ cm のびているので、X を上向きに $4 \div 2 = 2$ N で引く。ばね B の長さは $43 - 24 = 19$ cm で、 $1$ cm 縮んでいるので、X を上向きに $1$ N でおす。上向きの力の合計は $2 + 1 = 3$ N で、重力 $3$ N とつり合っている。

よって、ばね A の長さは $24$ cm である。

別解

おもり X にはたらく重力は、質量 $300$ g なので $3$ N（下向き）である。

ばね A の長さを $a$ cm とすると、天井と床の距離が $43$ cm なので、ばね B の長さは $43 - a$ cm である。

ばねが X にはたらく力（上向きを正とする）

ばね A： $1$ N あたり $2$ cm のびるので、 $1$ cm あたり $\frac{1}{2}$ N の力。自然の長さ $20$ cm からのびた分は $(a - 20)$ cm で、のびていれば X を上向きに引く。縮んでいれば（ $a < 20$ ）X を下向きに押す。どちらの場合も、上向きの力は $\frac{a - 20}{2}$ N と表せる。
ばね B： $1$ N あたり $1$ cm 縮むので、 $1$ cm あたり $1$ N の力。縮んでいれば X を上向きに押す。縮んだ分は $20 - (43 - a)$ cm なので、上向きの力は $20 - (43 - a) = a - 23$ N と表せる（のびていれば下向きの力で、符号が負になる）。

つり合いの式

上向きの力の合計が下向きの重力 $3$ N と等しいので
$\frac{a - 20}{2} + (a - 23) = 3$
両辺に $2$ をかけて
$a - 20 + 2 a - 46 = 6$
$3 a = 72$
$a = 24$

よって、ばね A の長さは $24$ cm である。

確かめ

ばね A は $24 - 20 = 4$ cm のびているので、X を上向きに $4 \div 2 = 2$ N で引く。ばね B の長さは $43 - 24 = 19$ cm で $1$ cm 縮んでいるので、X を上向きに $1$ N で押す。上向きの力の合計は $2 + 1 = 3$ N で、重力 $3$ N とつり合っている。

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