力のはたらきの問題
水平な天井に 2 本のくぎ A, B が打ってあり、A と B の間の距離は である。長さ の糸の一端を A に、長さ の糸の一端を B に結び、2 本の糸のもう一方の端どうしを点 O で結んだ。点 O に質量 のおもりをつるしたところ、2 本の糸はどちらもぴんと張った状態で、おもりは静止した。
このとき、A と O を結ぶ糸がおもりを結んだ点 O を引く力の大きさは何 N ですか。
ただし、糸は軽くてのび縮みせず、結び目の大きさは考えないものとする。また、質量 の物体にはたらく重力の大きさを とする。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- 力の合成と 3 力のつり合い（説明と入口の問題）
- 力の分解（斜面・2 本の糸）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず三角形 AOB の 3 辺の長さの関係から、2 本の糸がなす角を調べる。
ヒント 2
3 力がつり合うので、2 本の糸の力の合力は上向き 。2 本の糸が直角なら、力の平行四辺形は長方形になる。
ヒント 3
力の長方形を対角線で分けた直角三角形は、三角形 AOB と相似になる。斜辺 が AB（）に対応する。どの辺が に対応するかを角を比べて考える。
答えと解説
答えを見る
どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
糸のなす角を調べる
三角形 の 3 辺は 、、 で、
が成り立つので、三平方の定理の逆より である。つまり 2 本の糸は点 O で直角に交わっている。
力のつり合い
点 O には、おもりの重さ（下向き ）、糸 OA が引く力 、糸 OB が引く力 の 3 つの力がはたらき、つり合っている。よって、 と の合力は、上向きで大きさ の力になる。
と は直角に交わるので、これらを 2 辺とする平行四辺形は長方形になり、その対角線が上向き の合力を表す。この長方形を対角線で分けた直角三角形は、斜辺が 、直角をはさむ 2 辺が と である。
相似を使って大きさを求める
O から AB に下ろした垂線（鉛直線）を OH とする。 と はどちらも に等しいので、 である。
力の直角三角形で、鉛直上向きの合力（斜辺）と のなす角は である。したがって力の直角三角形は、直角三角形 （直角が O、角 B が ）と相似で、
- 斜辺 ↔ 斜辺
- その角の隣の辺 ↔ 角 B の隣の辺
- 向かいの辺 ↔
が対応する。よって
（確認： で、 となり、合力の大きさ と合う。短いほうの糸 OA に大きい力がはたらいている。）
別解
おもりにはたらく重力は （下向き）。おもりは静止しているので、2 本の糸が点 O を引く力の合力は大きさ で上向きである。
三角形 AOB の 3 辺は 、、 で、 だから、 の直角三角形である。したがって、糸 AO が引く力と糸 BO が引く力は垂直である。
天井 AB は水平なので、O から AB に下ろした垂線の足を H とすると、三角形 AOB の面積から 。、。
よって、糸 AO が水平方向となす角について、AO の向きは「水平に 、鉛直に 、長さ 」、BO の向きは「水平に 、鉛直に 、長さ 」である。つまり、糸 AO の力の鉛直成分は力の 倍、水平成分は 倍。糸 BO の力の鉛直成分は 倍、水平成分は 倍。
糸 AO の力を 、糸 BO の力を とする。
水平方向のつりあい: AO の力は A 側（左向き）に 、BO の力は B 側（右向き）に なので、 より 。
鉛直方向のつりあい: 。 を代入すると なので 。
確かめ: 。鉛直方向 。水平方向 、 でつりあう。また、力が垂直なので で重力と一致する。
答え: 。