力の合成と 3 力のつり合い

2 力の合力を平行四辺形（同じ向き・反対向き・直角の場合を含む）で求められ、直角に交わる 2 力の合力の大きさを三平方の定理で求められる。3 力がつり合うとき、2 力の合力が残りの力と同じ大きさで反対向きになることを使って、残りの力の大きさを求められる

前提

2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）

説明

1 つの物体に 2 つの力がはたらくとき、その 2 力と同じはたらきをする 1 つの力（合力）を求められるようになります。合力は、2 力を表す矢印を 2 辺とする平行四辺形の対角線で求められ、2 力が直角に交わるときは三平方の定理で大きさを計算できます。さらに、3 つの力がはたらいて物体が静止しているとき、2 力の合力を使って残りの力の大きさを求められます。輪に結んだ 3 本の糸をばねばかりで引く実験や、2 本の糸でおもりをつるす場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

2 つの力 $F_{1}$ , $F_{2}$ を同時に加えたときと同じはたらきをする 1 つの力を、2 力の合力といいます。2 力の合力を求めることを力の合成といいます。同じ向きの 2 力なら、合力は同じ向きで大きさは和 $F_{1} + F_{2}$ です。反対向きなら、合力は大きいほうの向きで大きさは差です。向きがちがう 2 力の場合は、作用点から 2 力の矢印をかき、それらを 2 辺とする平行四辺形をつくると、作用点から引いた対角線の矢印が合力になります。これは、2 本のばねばかりで輪を引いたときと、1 本のばねばかりで輪を同じ位置まで引いたときを比べる実験で確かめられます。同じ向き・反対向きの場合も、平行四辺形がつぶれて一直線になったものと考えれば同じ規則です。

2 力が直角に交わるときは、平行四辺形は長方形になり、対角線は 2 辺 $F_{1}$ , $F_{2}$ をもつ直角三角形の斜辺です。したがって三平方の定理から、合力の大きさは $F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$ です。たとえば 3 N と 4 N が直角なら $9 + 16 = 5$ N で、 $3 + 4 = 7$ N にはなりません。向きがちがうので、2 力がそのまま足し合わされるわけではないからです。

3 つの力 $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ がはたらいて物体が静止しているとき、 $F_{1}$ と $F_{2}$ を合成した合力は、1 つの力として $F_{1}$ , $F_{2}$ と同じはたらきをします。すると物体には「合力」と $F_{3}$ の 2 力がはたらいて静止していることになるので、2 力のつり合いから、 $F_{3}$ は合力と同じ大きさで反対向き（同一直線上）です。こうして 3 力のつり合いは、2 力のつり合いに置きかえて考えられます。

手順

物体にはたらく力をすべて挙げ、それぞれの向きと大きさを確認する。
合成する 2 力を選び、作用点から 2 力の矢印をかいて、それらを 2 辺とする平行四辺形をつくる（作用点から引いた対角線が合力）。
合力の大きさを求める。同じ向きなら $F_{1} + F_{2}$ 、反対向きなら大きいほうから小さいほうを引く、直角なら $F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$ 。
3 力がつり合っているときは、残りの力は 2 力の合力と同じ大きさで反対向きとする。

例題

水平でなめらかな机の上に小さな金属の輪を置き、輪に 3 本の糸を結んだ。1 本目の糸を東向きに 3 N の力で、2 本目の糸を北向きに 4 N の力で、机に平行に引いた。3 本目の糸はばねばかりにつなぎ、机に平行に引いて、輪が静止するようにした。糸とばねばかりの質量は考えないものとする。このとき、ばねばかりは何 N を示しますか。

例題の解答

【手順 1】輪にはたらく机に平行な力は、東向きの 3 N、北向きの 4 N、ばねばかりが引く力 $F$ の 3 つ。輪にはたらく重力と机からの垂直抗力は上下方向でつり合っているので、ここでは考えなくてよい。

【手順 2】東向き 3 N と北向き 4 N の矢印を 2 辺とする平行四辺形をつくる。東と北は直角なので、平行四辺形は長方形で、合力は東と北のあいだ（北東側）を向く対角線になる。

【手順 3】2 力は直角なので、合力の大きさは $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ N。

【手順 4】輪は静止しているので 3 力がつり合っている。ばねばかりが引く力は、合力と同じ大きさで反対向き（西と南のあいだ、南西側）になる。よって、ばねばかりは 5 N を示す。

答え: $5$

よくある誤り

向きがちがう 2 力の合力を、大きさの和で求めてしまう誤り。3 N と 4 N が直角なら合力は $3 + 4 = 7$ N ではなく、 $3^{2} + 4^{2} = 5$ N。和になるのは 2 力が同じ向きのときだけ。
直角に交わる 2 力の合力の大きさを、差で $4 - 3 = 1$ N としたり、2 乗の和のまま $3^{2} + 4^{2} = 25$ N としたりしてしまう誤り。正しくは平方根をとって $25 = 5$ N。差になるのは 2 力が反対向きのとき。
3 力のつり合いで、残りの力を 2 力の合力と同じ向きにしてしまう誤り。東向き 3 N と北向き 4 N の合力は北東側を向くので、つり合う 3 つ目の力は大きさ 5 N で、その反対の南西側を向く。
平行四辺形の対角線をまちがえる誤り。合力は 2 力の作用点から引いた対角線で、2 力の矢印の先どうしを結んだもう一方の対角線ではない。直角に 3 N と 4 N の場合、どちらの対角線も長さは 5 N 分になるが、合力の向きは作用点から出る対角線の向き（北東側）になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平でなめらかな机の上に小さなリング O を置き、3 本の糸をつけて、それぞれをばねばかりで水平に引きました。1 本目の糸は東向きに $3 N$ 、2 本目の糸は北向きに $4 N$ の力でリングを引いています。3 本目の糸を引く向きと力の大きさを調節したところ、リングは静止しました。3 本目の糸がリングを引く力の大きさは何 N ですか。ただし、リングと机のあいだの摩擦は考えず、糸の質量は考えないものとします。
O3 N4 N東北
真上から見た図（3 本目の糸は描いていない）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

力の分解（斜面・2 本の糸）（中学理科力のはたらき）