力のはたらきの問題
水平な床の上に、なめらかな斜面をもつ台を固定した。この台を真横から見ると、斜面の断面は、水平方向の長さが 、高さが 、斜面の長さが の直角三角形である。
質量 の小さな物体を斜面の上に置き、この断面をふくむ鉛直な面の中で、物体を水平な向きに斜面のほうへ押したところ、物体は斜面の上で静止した。物体にはたらく力は、重力、押す力、斜面から受ける力（垂直抗力）の 3 つだけとする。
質量 の物体にはたらく重力の大きさを とし、斜面と物体のあいだの摩擦は考えないものとする。このとき、物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさは何 N ですか。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- 力の合成と 3 力のつり合い（説明と入口の問題）
- 力の分解（斜面・2 本の糸）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
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ヒント 1
物体は静止しているので、3 つの力はつり合っています。重力と押す力の合力が、垂直抗力とつり合うと考えましょう。
ヒント 2
重力（鉛直下向き）と押す力（水平向き）は直角に交わり、その合力は斜面に垂直な向きです。力の矢印でできる直角三角形は、斜面の断面の直角三角形（）と相似になります。
ヒント 3
重力 は斜面の水平方向の長さ に対応し、合力（垂直抗力と同じ大きさ）は斜面の長さ に対応します。比 を解きましょう。
答えと解説
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解説を読む
物体にはたらく重力の大きさは、 なので である。
物体は静止しているので、重力・押す力・垂直抗力の 3 つの力はつり合っている。このとき、重力と押す力の合力は、垂直抗力と大きさが等しく向きが反対である。
- 重力は鉛直下向き、押す力は水平向きなので、この 2 つの力は直角に交わる。
- 垂直抗力は斜面に垂直な向きなので、重力と押す力の合力も斜面に垂直な向きになる。
重力（鉛直）と押す力（水平）を 2 辺とする平行四辺形（長方形）をかき、その対角線を合力とすると、重力・押す力・合力でできる直角三角形ができる。この三角形の各辺は、斜面の断面の直角三角形の各辺をそれぞれ 回転させた向きになっている（重力 ↔ 水平方向の長さ、押す力 ↔ 高さ、合力 ↔ 斜面の長さ）。したがって、2 つの直角三角形は相似で、
となる。
重力が なので、合力の大きさを とすると
垂直抗力は重力と押す力の合力とつり合うので、その大きさは である。（なお、押す力の大きさは である。）
答え：
別解
質量 の物体にはたらく重力は （下向き）。物体にはたらく力は、重力（鉛直下向き）、押す力（水平）、垂直抗力（斜面に垂直）の3つで、物体は静止しているので、この3力はつりあっている。
3力でつりあうとき、3力を矢印でつなぐと閉じた直角三角形ができる。この三角形は、斜面の断面の直角三角形と相似になる。理由は次のとおり。
- 重力は鉛直で、斜面の「高さ」の向きに対応する。
- 押す力は水平で、斜面の「水平方向の長さ」の向きに対応する。
- 垂直抗力は斜面に垂直である。
力の三角形の各辺は、斜面の三角形の辺を 回したものになっている。したがって力の三角形は斜面の三角形と相似で、対応は次のとおり。
- 重力は斜面の水平方向の長さ に対応
- 押す力は高さ に対応
- 垂直抗力は斜面の長さ に対応
重力 : 押す力 : 垂直抗力 なので、
垂直抗力 。
検算：押す力は 。垂直抗力の鉛直成分は で重力とつりあう。水平成分は で押す力とつりあう。