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技能一覧 › 中学理科 力のはたらき

力の分解（斜面・2 本の糸）

1 つの力を決められた 2 方向に平行四辺形で分解し、斜面の長さと高さの比や、糸の長さの比（3:4:5 などの直角三角形）と相似を使って、斜面上の物体を支える力や、2 本の糸でつるしたおもりの各糸が引く力の大きさを求められる

前提

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一覧で見る（前提が先）
  1. 重力と力の大きさ （中学理科 力のはたらき）
  2. 2 力のつり合いと作用・反作用 （中学理科 力のはたらき）
  3. 力の合成と 3 力のつり合い （中学理科 力のはたらき）

説明

1 つの力を、それと同じはたらきをする 2 つの力に分けることを力の分解といい、分けた力を分力といいます。この技能では、重力などの 1 つの力を決められた 2 つの方向に平行四辺形で分解し、斜面の長さと高さの比や糸の長さの比を使って、分力の大きさを求められるようになります。なめらかな斜面上の物体を斜面に沿って支える力や、2 本の糸でつるしたおもりの各糸が引く力を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

力の分解は、力の合成を逆向きに行うことです。分解したい力の矢印を対角線とし、指定された 2 方向を 2 辺とする平行四辺形をつくると、その 2 辺の矢印が分力です。2 つの分力を合成するともとの力に戻るので、2 つの分力は、もとの力 1 つと同じはたらきをします。方向を決めなければ分け方はいくらでもあるので、「斜面に平行な方向と垂直な方向」「2 本の糸の方向」のように、必ず方向を決めてから分解します。

斜面の場合、重力（鉛直下向き）を斜面に平行な方向と斜面に垂直な方向に分解します。この 2 方向は直角なので、平行四辺形は長方形になり、重力を斜辺とする直角三角形ができます。重力は斜面の底辺（水平）に垂直で、垂直な分力は斜面に垂直なので、「重力と斜面に垂直な分力のなす角」は「底辺と斜面のなす角」に等しくなります（2 本の直線をそれぞれ 90° 回した直線どうしは、もとと同じ角で交わるため）。したがって、力の直角三角形と斜面の直角三角形は相似で、重力 ↔ 斜面の長さ、斜面に平行な分力 ↔ 斜面の高さ、斜面に垂直な分力 ↔ 斜面の底辺、と対応します。よって 、 です。なめらかな斜面上で物体を斜面に沿って引いて静止させるには、斜面に平行な分力と同じ大きさの力が必要で、垂直な分力は斜面からの垂直抗力とつり合います。

2 本の糸でおもりをつるす場合は、3 力のつり合いから、2 本の糸が引く力の合力は、おもりの重力と同じ大きさで鉛直上向きです。そこで、この「鉛直上向きで重力と同じ大きさの力」を 2 本の糸の方向に分解すれば、それぞれの糸が引く力が求められます。たとえば、水平な天井の 2 点 A, B（AB = 50 cm）から、長さ AO = 30 cm と BO = 40 cm の糸をおもりの結び目 O に結ぶと、 より糸は O で直角に交わります。おもりの重力が 5 N なら、上向き 5 N の力を対角線とし、OA 方向と OB 方向を 2 辺とする長方形をかきます。このとき、鉛直な線は天井 AB に垂直なので、「鉛直な線と糸 OA のなす角」は で、三角形 OAB の角の和（）から、これは に等しくなります。すると「上向き 5 N の力（斜辺）と、OA 方向の分力（隣の辺）」でできる直角三角形は、三角形 OAB の「斜辺 AB と、角 B のとなりの辺 BO」と同じ形（相似）です。よって 上向きの力 ↔ 天井の長さ AB、糸 OA が引く力 ↔ もう一方の糸の長さ BO、糸 OB が引く力 ↔ 糸の長さ OA と対応し、糸 OA が引く力は N、糸 OB が引く力は N です。それぞれの糸の力は、自分の長さではなく「もう一方の糸の長さ」に対応することに注意します。

手順

  1. 分解する力（多くは重力。2 本の糸なら重力と同じ大きさで上向きの力）と、分解する 2 つの方向を決める。

  2. 分解する力の矢印を対角線とし、2 つの方向を 2 辺とする平行四辺形（2 方向が直角なら長方形）をかいて、分力を表す 2 辺を決める。

  3. 斜面の場合は、力の直角三角形と斜面の直角三角形の相似から、重力 ↔ 斜面の長さ、平行な分力 ↔ 高さ、垂直な分力 ↔ 底辺 と対応させる。

  4. 直角に交わる 2 本の糸の場合は、力の直角三角形と、2 本の糸と天井がつくる直角三角形の相似から、上向きの力 ↔ 天井の 2 点の間の長さ、それぞれの糸が引く力 ↔ もう一方の糸の長さ と対応させる。

  5. 相似の比から分力の大きさを計算する。例: 、。

  6. つり合いを使って、求める力（物体を支える力・垂直抗力・糸が引く力）は分力と同じ大きさだと答える。

例題

斜面の長さが 50 cm、高さが 30 cm のなめらかな斜面がある（斜面の下端から上端までの長さが 50 cm で、上端は下端より 30 cm 高い）。この斜面上に質量 500 g の台車を置き、斜面に平行な向きに糸で引いて、台車を静止させた。質量 100 g の物体にはたらく重力の大きさを 1 N とし、糸の質量と摩擦は考えないものとする。このとき、糸が台車を引く力の大きさは何 N ですか。

例題の解答

【手順 1】分解する力は台車にはたらく重力で、その大きさは N。これを斜面に平行な方向と斜面に垂直な方向に分解する。

【手順 2】2 方向は直角なので、重力を対角線とする長方形をかき、斜面に平行な分力と斜面に垂直な分力を 2 辺とする。

【手順 3】力の直角三角形と斜面の直角三角形は相似で、重力 ↔ 斜面の長さ 50 cm、斜面に平行な分力 ↔ 高さ 30 cm が対応する。（手順 4 は 2 本の糸の場合なので、ここでは使わない。）

【手順 5】斜面に平行な分力は N。

【手順 6】台車は静止しているので、糸が斜面に沿って上向きに引く力は、斜面に平行な分力（斜面に沿って下向き）とつり合う。よって糸が引く力は 3 N。（なお、斜面に垂直な分力は、底辺が cm より N で、これは斜面からの垂直抗力とつり合っている。）

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題