力のはたらきの問題
水平な天井に 2 点 , があり、 である。長さ の糸の一端を に、長さ の糸の一端を に固定し、2 本の糸のもう一方の端を結び目 で結んだ。結び目 に別の糸で質量 のおもりをつるしたところ、2 本の糸はどちらもぴんと張り、おもりは静止した。このとき 、 である。
質量 の物体にはたらく重力の大きさを とし、糸の質量と糸ののびは考えないものとする。糸 が結び目 を引く力の大きさは何 N ですか。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- 2 力のつり合いと作用・反作用（説明と入口の問題）
- 力の分解（斜面・2 本の糸）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
結び目 O にはたらく 3 つの力（糸 OP・糸 OQ・おもりの糸）がつり合っています。2 本の糸の力の合力は、おもりの重力と同じ大きさで上向きになります。
ヒント 2
から、2 本の糸のなす角がわかります。また、O から天井までの距離 OH を三角形 OPQ の面積から求めておきましょう。
ヒント 3
合力 （上向き）を OP と OQ の向きに分解すると長方形になります。OP の向きの分力・合力・もう一方の分力でできる直角三角形は、三角形 OHP（OH = 24 cm, OP = 30 cm）と相似です。
答えと解説
答えを見る
どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
1. 糸の向きを調べる
、 なので、三平方の定理の逆より である。
から天井に垂線 をひく（ は 上）。直角三角形 の面積を 2 通りに表すと
より である。
2. 力のつり合い
おもりにはたらく重力は なので 。おもりは静止しているので、結び目 は下向きに で引かれている。結び目 も静止しているので、糸 と糸 が を引く 2 つの力の合力は、下向きの とつり合う、上向き の力になる（2 力のつり合い）。
3. 力の分解
上向き の力を表す矢印 を、 の向きと の向きに分解する。2 本の糸のなす角は なので、平行四辺形は長方形になる。糸 の向きの分力を矢印 とすると、三角形 は の直角三角形である。
矢印 は鉛直上向きで、 と同じ向きなので、。また 。2 組の角がそれぞれ等しいので、 であり、
よって糸 が を引く力の大きさは
（同様にして糸 の力は となり、 で長方形の対角線が になることも確かめられる。）
答え：
別解
おもりの重力は なので である。 より、三角形 OPQ は O が直角の直角三角形である。したがって OP と OQ は垂直である。
糸 OP の張力を 、糸 OQ の張力を とする。結び目 O は静止しているので、、 の合力が、おもりが引く下向きの とつり合う。
三角形 OPQ の辺の比は OP:OQ:PQ=3:4:5 である。OP が天井となす角を P とすると、、 である。同様に OQ が天井となす角を Q とすると、、 である。
水平方向のつり合いより 、つまり である。
鉛直方向のつり合いより である。
これに を代入すると となり、、 を得る。
検算として、水平方向は 、 で一致する。鉛直方向は で一致する。また、OP と OQ が垂直なので、 の力を辺の比 3:4:5 の直角三角形の斜辺として分解すると、 と になり、これとも合う。
よって、糸 OP が結び目 O を引く力の大きさは である。