力のはたらきの問題
鉛直な壁に 2 本のくぎ A, B が打ってある。くぎ B はくぎ A より 低い位置にあり、A と B の水平方向の距離は である。長さ の糸の一端を A に、もう一端を B に結び、この糸に小さななめらかな輪 P を通して、P に質量 のおもりをつるした。P は糸の上をなめらかに動くことができ、やがておもりと P は壁にそった鉛直な面内で静止した。
糸・輪の質量、糸と輪の間の摩擦は考えないものとし、糸はのび縮みしないものとする。質量 の物体にはたらく重力の大きさを とする。このとき、糸が P を引く力の大きさは、糸の AP の部分で何 N ですか。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- 2 力のつり合いと作用・反作用（説明と入口の問題）
- 力の分解（斜面・2 本の糸）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
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ヒント 1
P はなめらかなので、糸の AP の部分と PB の部分で、糸が引く力の大きさは等しくなります。すると、2 本の糸の向きについて何がいえるでしょうか。
ヒント 2
水平方向の力のつり合いから、AP と PB は鉛直方向に対して同じ角度だけ傾きます。すると、糸 全体で水平方向に 進むことになり、糸の長さ：水平：鉛直の比が決まります。
ヒント 3
どちらの部分も「糸の長さ：水平：鉛直」です。糸が引く力の鉛直方向の分力は、力の大きさの になります。2 本分の鉛直方向の分力の和がおもりの重さとつり合います。
答えと解説
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解説を読む
糸の両側の力の大きさ
P はなめらかで、糸との間に摩擦がないので、1 本の糸の張りの大きさは AP の部分でも PB の部分でも等しい。この大きさを とする。
糸の向き
P にはたらく力は、AP の糸が引く力、PB の糸が引く力（どちらも大きさ ）、おもりが引く力（鉛直下向き ）の 3 つで、これらはつり合っている。鉛直下向きの力は水平方向の成分をもたないので、2 本の糸の力の水平方向の分力は打ち消し合い、大きさが等しい。2 つの力の大きさがどちらも で、水平方向の分力も等しいので、AP と PB は鉛直方向に対して同じだけ傾いている。
そこで、AP の部分を長さ 、PB の部分を長さ とすると、両方の部分で「糸の長さ：水平方向の長さ：鉛直方向の長さ」の比が同じになる。この比を と表すと、水平方向の長さの和はくぎどうしの水平距離に等しいので
で、 より 、すなわち である。直角三角形の三平方の定理より 。よって、どちらの部分も「糸の長さ：水平：鉛直」である。
張りの大きさ
糸が P を引く力を、水平方向と鉛直方向に分解すると、力の矢印と分力でつくる直角三角形は、糸がつくる直角三角形と相似になる。よって、それぞれの糸の力の鉛直方向の分力は である。
鉛直方向のつり合いより
よって、AP の部分で糸が P を引く力の大きさは である（くぎの高さの差 は P の位置を決めるが、力の大きさには影響しない）。
別解
おもりと輪 P にはたらく重力は N。
輪 P はなめらかで、糸の上を自由に動けるので、糸の AP の部分と PB の部分が P を引く力の大きさは等しい（これを N とする）。もし等しくなければ、P は糸にそって動いてしまう。
P にはたらく水平方向の力はつり合っている。AP と PB の力の水平方向の成分は、向きが逆で大きさが等しくなければならないので、AP と PB は鉛直方向となす角が等しい。この角を とする。
糸の全長は cm で、A と B の水平方向の距離は cm。AP, PB の水平方向の長さは、それぞれ糸の長さに をかけた値なので、水平方向の距離の合計は となり、、したがって 。
（中学の範囲での言い換え: AP と PB を、鉛直方向の辺とみなして糸を折り返してできる直角三角形を考えると、斜辺が cm、水平な辺が cm なので、残りの辺は cm で、辺の比は になる。力の向きは糸の向きなので、糸の長さと水平方向の長さの比 と、鉛直方向の長さの比 がそのまま力の分解に使える。）
鉛直方向の力のつり合いより、、、。
よって、糸の AP の部分が P を引く力の大きさは N。（PB の部分も N で、A と B の高さの差 cm は結果に影響しない。）
検算: 鉛直上向きの力の合計は N で、重力 N とつり合っている。水平方向は両側とも N で逆向きにつり合っている。