無機化学・錯体化学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学化学無機化学・錯体化学

分子の点群の位数 $h$ とは、その分子がもつ互いに異なる対称操作の数のことである。恒等操作 $E$ も含め、同じ結果を与える操作（たとえば $C_{4}^{2}$ と $C_{2}$ ）は 1 つと数える。

次の 3 つの分子について、点群の位数の和 $h_{1} + h_{2} + h_{3}$ を整数で求めよ。

分子 1：四フッ化キセノン $Xe F_{4}$ 。 $Xe$ を中心とする正方形の頂点に 4 個の $F$ がある平面正方形分子である。点群の位数を $h_{1}$ とする。
分子 2：ねじれ形配座のエタン $C_{2} H_{6}$ 。C–C 軸方向から見ると、2 つの $C H_{3}$ 基の H が互いに $6 0^{\circ}$ ずれている。点群の位数を $h_{2}$ とする。
分子 3：アレン $H_{2} C = C = C H_{2}$ 。3 個の C は一直線上にあり、両端の 2 つの $C H_{2}$ 基がつくる平面は互いに垂直である。点群の位数を $h_{3}$ とする。

この問題で使うもの

対称要素と対称操作（説明と入口の問題）
分子の点群の決定と位数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず各分子の主軸（最高次の回転軸）と、主軸に垂直な $C_{2}$ 軸の有無を調べ、次に $σ_{h}$ ・ $σ_{v}$ （ $σ_{d}$ ）・ $i$ の有無で点群を決めましょう。

ヒント 2

$D_{nh}$ の位数は $4 n$ 、 $D_{n d}$ の位数も $4 n$ です。アレンの C=C=C 軸は $C_{4}$ ではなく $S_{4}$ 軸であることに注意しましょう。

ヒント 3

$Xe F_{4}$ は $D_{4 h}$ （位数 16）です。ねじれ形エタンには $σ_{h}$ がなく $σ_{d}$ があるので $D_{3 d}$ です。アレンも同様に $D_{n d}$ 型の点群です。

答えと解説

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解説を読む

各分子の点群を決め、対称操作を数える。

分子 1： $Xe F_{4}$ （平面正方形）

分子面に垂直で Xe を通る $C_{4}$ 軸がある。これに垂直な $C_{2}$ 軸は、F–Xe–F 結合に沿うもの 2 本（ $C_{2}^{'}$ ）と、隣り合う F–Xe–F の角を二等分するもの 2 本（ $C_{2}^{''}$ ）がある。分子面は $σ_{h}$ である。したがって点群は $D_{4 h}$ である。対称操作は
$E, 2 C_{4} (C_{4}, C_{4}^{3}), C_{2} (= C_{4}^{2}), 2 C_{2}^{'}, 2 C_{2}^{''}, i, 2 S_{4}, σ_{h}, 2 σ_{v}, 2 σ_{d}$
で、
$h_{1} = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 16$

分子 2：ねじれ形エタン

C–C 軸が $C_{3}$ 軸である。C–C 結合の中点を通り、C–C 軸に垂直な $C_{2}$ 軸が 3 本ある。 $σ_{h}$ はないが、H–C–C–H を含む面が 3 枚あり、これらは $C_{2}$ 軸の間を二等分する $σ_{d}$ である。C–C 結合の中点は対称心 $i$ であり、 $S_{6}$ 軸もある。点群は $D_{3 d}$ で、対称操作は
$E, 2 C_{3}, 3 C_{2}, i, 2 S_{6}, 3 σ_{d}$
となる。よって
$h_{2} = 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 12$

分子 3：アレン

C=C=C 軸は $C_{2}$ 軸である。両端の $C H_{2}$ 面が直交しているので、この軸のまわりに $9 0^{\circ}$ 回転して中央の C を通る垂直面で鏡映すると元に戻る。つまり C=C=C 軸は $S_{4}$ 軸でもある（ $C_{4}$ 軸ではない）。中央の C を通り C=C=C 軸に垂直な $C_{2}^{'}$ 軸が 2 本あり、それぞれ 2 つの $C H_{2}$ 面の間の $4 5^{\circ}$ の方向を向く。2 つの $C H_{2}$ 面はそれぞれ鏡映面で、 $C_{2}^{'}$ 軸の間を二等分する $σ_{d}$ である。 $σ_{h}$ と $i$ はない。点群は $D_{2 d}$ で、対称操作は
$E, 2 S_{4}, C_{2}, 2 C_{2}^{'}, 2 σ_{d}$
となる。よって
$h_{3} = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 8$

合計
$h_{1} + h_{2} + h_{3} = 16 + 12 + 8 = 36$

別解

各分子の点群を決め、位数を数える。

分子 1（XeF4）：平面正方形で $D_{4 h}$ 。操作は $E$ , $2 C_{4}$ , $C_{2}$ , $2 C_{2}^{'}$ , $2 C_{2}^{''}$ , $i$ , $2 S_{4}$ , $σ_{h}$ , $2 σ_{v}$ , $2 σ_{d}$ で、 $1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 16$ 。よって $h_{1} = 16$ 。

分子 2（ねじれ形エタン）： $D_{3 d}$ 。操作は $E$ , $2 C_{3}$ , $3 C_{2}$ , $i$ , $2 S_{6}$ , $3 σ_{d}$ で、 $1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 12$ 。よって $h_{2} = 12$ 。

分子 3（アレン）： $D_{2 d}$ 。操作は $E$ , $2 S_{4}$ , $C_{2}$ （主軸）, $2 C_{2}^{'}$ , $2 σ_{d}$ で、 $1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 8$ 。よって $h_{3} = 8$ 。

和は $16 + 12 + 8 = 36$ 。

検算： $D_{nh}$ の位数は $4 n$ なので $D_{4 h}$ は 16、 $D_{n d}$ の位数も $4 n$ なので $D_{3 d}$ は 12、 $D_{2 d}$ は 8 となり、上の数え上げと一致する。

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