有機化学の問題

メチルシクロヘキサンは、メチル基がアキシアル位にあるいす形配座と、エクアトリアル位にあるいす形配座の間で、環反転によって平衡にある。
$$\text{アキシアル配座}\rightleftarrows \text{エクアトリアル配座}$$
温度 $298\mathrm{K}$ で、2 つの配座のモルギブズエネルギーの差（メチル基の A 値）は
$$G_{\text{ax}}-G_{\text{eq}}=7.30\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$$
である。気体定数を $R=8.31\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とし、分子はこの 2 つの配座のどちらかだけをとるものとする。$298\mathrm{K}$ の平衡状態で、アキシアル配座の分子が全体に占める割合は何 % か。有効数字 3 桁で求めよ。

酸 $\mathrm{HA}$（$\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}=9.0$）$1.0\mathrm{mol}$ と、塩基 ${\mathrm{B}}^{-}$ $1.0\mathrm{mol}$（その共役酸 $\mathrm{HB}$ の $\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}=11.0$）を同じ溶媒に溶かしたところ、次のプロトン移動平衡
$$\mathrm{HA}+{\mathrm{B}}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{A}}^{-}+\mathrm{HB}$$
が成り立った。この反応の平衡定数を $K=10^{\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}(\mathrm{HB})-\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}(\mathrm{HA})}$ とし、ほかの反応は起こらないものとする。平衡時に $\mathrm{HA}$ のまま残っている割合（はじめの $\mathrm{HA}$ の物質量に対する、平衡時の $\mathrm{HA}$ の物質量の比）を分数で求めよ。

水溶液中で、安息香酸 ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{COOH}$ とフェノキシドイオン ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}^{-}$ のあいだで次のプロトン移動が起こる。
$${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{COOH}+{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{CO}{\mathrm{O}}^{-}+{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}$$
安息香酸の $\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}$ を $4.2$、フェノール ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}$ の $\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}$ を $10.2$ とする。この反応の平衡定数
$$K=\frac{[{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{CO}{\mathrm{O}}^{-}][{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}]}{[{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{COOH}][{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}^{-}]}$$
の値を求めよ。ただし、$\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}=-{\log }_{10}{K}_{\mathrm{a}}$ とする。

トルエンからトリフェニルメタノールを、次の 3 段階の反応と 1 回の精製で合成する。

• 第 1 段階：トルエンを $\mathrm{KMn}{\mathrm{O}}_4$ で酸化して安息香酸を得る（収率 $80\%$）。
• 第 2 段階：安息香酸をメタノールと酸触媒でエステル化して安息香酸メチルを得る（収率 $90\%$）。
• 第 3 段階：安息香酸メチルに過剰量のフェニルマグネシウムブロミド ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{MgBr}$ を反応させたのち加水分解して、粗トリフェニルメタノールを得る（収率 $75\%$）。
• 精製：粗生成物を再結晶する（回収率 $80\%$）。

各段階の収率は、その段階の有機原料（第 1 段階はトルエン、第 2 段階は安息香酸、第 3 段階は安息香酸メチル）の物質量を基準とした値であり、各段階の生成物はすべて次の段階に用いるものとする。また、再結晶の回収率は、粗トリフェニルメタノールのうち純粋な結晶として得られる物質量の割合である。

精製したトリフェニルメタノールを $26.0\mathrm{g}$ 得るために必要なトルエンの質量は何 g か。トルエンのモル質量を $92.14\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、トリフェニルメタノールのモル質量を $260.33\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とし、有効数字 3 桁で求めよ。

原料 $\mathrm{A}$ から、物質量比 $1:1$ で目的物 $\mathrm{P}$ ができる反応がある。1 回の反応操作では、仕込んだ $\mathrm{A}$ のうち $50\%$ が反応し（転化率 $50\%$）、反応した $\mathrm{A}$ のうち $80\%$ が $\mathrm{P}$ になり（選択率 $80\%$）、残りは副生成物になる。反応しなかった $\mathrm{A}$ はその $90\%$ が回収され（回収率 $90\%$）、回収した $\mathrm{A}$ はすべて次の反応操作に仕込む。回収されなかった $\mathrm{A}$ は失われる。

この「反応・回収・再使用」を限りなく繰り返すとき、最初に仕込んだ $\mathrm{A}$ の物質量に対する、得られる $\mathrm{P}$ の物質量の合計の比（実質的な収率）を分数で求めよ。ただし、各回の転化率・選択率・回収率は仕込んだ量によらず一定とする。