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度数分布表からの代表値

度数分布表から、階級値を使って平均値（$\frac{\sum (\text{階級値}\times \text{度数})}{\text{度数の合計}}$）を求め、最頻値（度数のもっとも多い階級の階級値）と中央値をふくむ階級を答えられる

前提

• 度数分布表と階級値 （中学数学 データの活用）
• 平均値・中央値・最頻値 （中学数学 データの活用）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 各階級の階級値 $\frac{\text{下の端}+\text{上の端}}{2}$ を求める

2. 平均値: 各階級で $(\text{階級値})\times (\text{度数})$ を計算して合計し、度数の合計でわる

3. 最頻値: 度数がもっとも多い階級を見つけ、その階級値を答える

4. 中央値: 真ん中の順番（度数の合計が偶数なら真ん中の 2 つ）を求め、小さい階級から度数をたしていって、その順番が入る階級を答える

例題

よくある誤り

• 階級値をかけずに、度数だけを平均してしまう誤り。$(3+6+7+4)÷4=5$ は 1 つの階級あたりの人数で、読書時間の平均ではない。正しくは $(10\times 3+30\times 6+50\times 7+70\times 4)÷20=42$ 分。

• $(\text{階級値}\times \text{度数})$ の合計を、度数の合計ではなく階級の個数でわってしまう誤り。$840÷4=210$ ではなく、正しくは人数 20 でわって $840÷20=42$ 分。

• 最頻値を、もっとも多い度数そのものと答えてしまう誤り。上の例で最頻値を 7 とするのは誤りで、正しくは度数 7 の階級（40 分以上 60 分未満）の階級値 50 分。

• 中央値をふくむ階級を、まん中の位置にある階級（4 つの階級の 2 番目や 3 番目）と考えてしまう誤り。正しくは度数を小さい階級からたしていき、10 番目と 11 番目の人が入る階級を探す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  ある中学校の生徒 20 人が、1 日に家で勉強した時間を調べ、次の度数分布表に整理しました。

  勉強時間（分）	度数（人）
  0 以上 20 未満	2
  20 以上 40 未満	5
  40 以上 60 未満	8
  60 以上 80 未満	5
  合計	20

  この度数分布表から、階級値を使って勉強時間の平均値を求めると何分ですか。

この技能を使う問題

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  ある中学校の生徒 $25$ 人について、家から学校までの通学時間を調べ、次の度数分布表に整理した。

  通学時間（分）	度数（人）
  $0$ 以上 $10$ 未満	$4$
  $10$ 以上 $20$ 未満	$a$
  $20$ 以上 $30$ 未満	$9$
  $30$ 以上 $40$ 未満	$6$
  $40$ 以上 $50$ 未満	$2$
  合計	$25$

  この度数分布表から、階級値を用いて $25$ 人の通学時間の平均値を求めよ。ただし、階級値はそれぞれの階級のまん中の値とする。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  ある中学校の 2 年生全員の握力を測定し、その記録を次の度数分布表に整理した。

  記録（kg）	度数（人）
  $10$ 以上 $20$ 未満	$4$
  $20$ 以上 $30$ 未満	$x$
  $30$ 以上 $40$ 未満	$y$
  $40$ 以上 $50$ 未満	$6$
  合計

  $40$ kg 以上 $50$ kg 未満の階級の相対度数は $0.15$ であった。また、度数分布表から階級値を使って求めた平均値は $31$ kg であった。このとき、$20$ kg 以上 $30$ kg 未満の階級の累積相対度数を求めよ。ただし、累積相対度数は、最初の階級からその階級までの相対度数の合計とする。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  ある中学校の 3 年生のあるグループについて、ある日の家庭学習の時間を調べ、次の度数分布表に整理した。

  時間（分）	度数（人）
  $0$ 以上 $30$ 未満	$a$
  $30$ 以上 $60$ 未満	$9$
  $60$ 以上 $90$ 未満	$b$
  $90$ 以上 $120$ 未満	$7$
  $120$ 以上 $150$ 未満	$3$

  この表について、次の $2$ つのことがわかっている。

  • $90$ 分以上の生徒の人数の、グループ全体の人数に対する割合（$90$ 分以上 $120$ 分未満と $120$ 分以上 $150$ 分未満の階級の相対度数の合計）は $0.25$ である。
  • $30$ 分以上 $60$ 分未満の階級の累積相対度数は $0.35$ である。ただし、累積相対度数は、最初の階級からその階級までの相対度数の合計とする。

  このとき、度数分布表から階級値を使って求めた平均値は何分か求めよ。