データの活用の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学データの活用

ある中学校の 3 年生のあるグループについて、ある日の家庭学習の時間を調べ、次の度数分布表に整理した。

時間（分）	度数（人）
$0$ 以上 $30$ 未満	$a$
$30$ 以上 $60$ 未満	$9$
$60$ 以上 $90$ 未満	$b$
$90$ 以上 $120$ 未満	$7$
$120$ 以上 $150$ 未満	$3$

この表について、次の $2$ つのことがわかっている。

$90$ 分以上の生徒の人数の、グループ全体の人数に対する割合（ $90$ 分以上 $120$ 分未満と $120$ 分以上 $150$ 分未満の階級の相対度数の合計）は $0.25$ である。
$30$ 分以上 $60$ 分未満の階級の累積相対度数は $0.35$ である。ただし、累積相対度数は、最初の階級からその階級までの相対度数の合計とする。

このとき、度数分布表から階級値を使って求めた平均値は何分か求めよ。

この問題で使うもの

相対度数と累積度数（説明と入口の問題）
度数分布表からの代表値（説明と入口の問題）
度数分布表と階級値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$90$ 分以上の人数と、その割合 $0.25$ から、グループ全体の人数を求めよう。

ヒント 2

累積相対度数 $0.35$ に全体の人数をかけると、 $60$ 分未満の人数がわかる。そこから $a$ 、さらに度数の合計から $b$ が求められる。

ヒント 3

全体は $40$ 人、 $a = 5$ である。階級値は $15, 45, 75, 105, 135$ 分なので、（階級値） $\times$ （度数）の合計を $40$ でわろう。

答えと解説

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70.5

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解説を読む

全体の人数を求める
$90$ 分以上の生徒は $7 + 3 = 10$ 人で、その割合が $0.25$ なので、全体の人数は
$10 \div 0.25 = 40 (人)$

$a$ を求める
$30$ 分以上 $60$ 分未満の階級の累積相対度数が $0.35$ なので、 $60$ 分未満の人数は
$40 \times 0.35 = 14 (人)$
よって $a + 9 = 14$ より $a = 5$ 。

$b$ を求める
度数の合計が $40$ 人なので
$5 + 9 + b + 7 + 3 = 40$
$b = 16$

平均値を求める
各階級の階級値は、順に $15, 45, 75, 105, 135$ 分である。（階級値） $\times$ （度数）を計算すると
- $15 \times 5 = 75$
- $45 \times 9 = 405$
- $75 \times 16 = 1200$
- $105 \times 7 = 735$
- $135 \times 3 = 405$

合計は $75 + 405 + 1200 + 735 + 405 = 2820$ 。

よって、平均値は
$2820 \div 40 = 70.5 (分)$

別解

90 分以上の人数は $7 + 3 = 10$ 人で、その割合が 0.25 なので、全体の人数は $10 \div 0.25 = 40$ 人です。

30 分以上 60 分未満の階級までの累積相対度数が 0.35 なので、そこまでの人数は $40 \times 0.35 = 14$ 人。よって $a + 9 = 14$ より $a = 5$ 。

全体が 40 人なので $5 + 9 + b + 7 + 3 = 40$ 、 $b = 40 - 24 = 16$ 。

階級値は 15, 45, 75, 105, 135 分です。
$15 \times 5 + 45 \times 9 + 75 \times 16 + 105 \times 7 + 135 \times 3 = 75 + 405 + 1200 + 735 + 405 = 2820$
平均値は $2820 \div 40 = 70.5$ 分です。

検算：度数の合計 $5 + 9 + 16 + 7 + 3 = 40$ 人、90 分以上は $10 \div 40 = 0.25$ 、累積は $14 \div 40 = 0.35$ で条件に合う。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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記録（kg）	度数（人）
$10$ 以上 $20$ 未満	$4$
$20$ 以上 $30$ 未満	$x$
$30$ 以上 $40$ 未満	$y$
$40$ 以上 $50$ 未満	$6$
合計

通学時間（分）	度数（人）
$0$ 以上 $10$ 未満	$4$
$10$ 以上 $20$ 未満	$a$
$20$ 以上 $30$ 未満	$9$
$30$ 以上 $40$ 未満	$6$
$40$ 以上 $50$ 未満	$2$
合計	$25$

記録（m）	度数（人）
$10$ 以上 $15$ 未満	$3$
$15$ 以上 $20$ 未満	$7$
$20$ 以上 $25$ 未満	$a$
$25$ 以上 $30$ 未満	$10$
$30$ 以上 $35$ 未満	$6$
$35$ 以上 $40$ 未満	$2$
合計	$40$

記録（m）	度数（人）
$10$ 以上 $15$ 未満	$4$
$15$ 以上 $20$ 未満	$a$
$20$ 以上 $25$ 未満	$14$
$25$ 以上 $30$ 未満	$b$
$30$ 以上 $35$ 未満	$3$
合計	$n$

通学時間（分）	度数（人）
$0$ 以上 $10$ 未満	$6$
$10$ 以上 $20$ 未満	$x$
$20$ 以上 $30$ 未満	$12$
$30$ 以上 $40$ 未満	$y$
$40$ 以上 $50$ 未満	$4$
合計	$40$