力のはたらきの問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科力のはたらき

底面が 1 辺 $10 cm$ の正方形で、じゅうぶんな高さのある直方体の容器を水平な台の上に置き、深さ $10 cm$ まで水を入れた。

次に、底面が縦 $4 cm$ 、横 $5 cm$ の長方形で、高さが $12 cm$ の直方体の物体 P（質量 $480 g$ ）をばねばかりにつるし、P の底面を水平に保ったまま、容器の中の水にゆっくりと沈めていった。P の底面が容器の底から $2 cm$ の高さになったところで P を静止させた。このとき、水が容器からあふれることはなく、P は容器の底や側面にふれていなかった。

水の密度を $1 g/c m^{3}$ とし、質量 $100 g$ の物体にはたらく重力の大きさを $1 N$ とする。ばねばかりと糸の質量、糸の体積は考えない。このとき、ばねばかりは何 N を示していますか。

Pばねばかりへ

2 cm

10 cm

正面から見た図（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
浮力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

P を沈めると水面が上がります。まず、静止したときに P がどれだけの高さぶん水中にあるかを求めましょう。

ヒント 2

水の体積は変わりません。水中にある P の高さを $d cm$ とすると、水面の高さは $(2 + d) cm$ で、 $100 \times (2 + d) - 20 d$ が水の体積に等しくなります。

ヒント 3

$100 (2 + d) - 20 d = 1000$ を解くと $d = 10$ です。水中の P の体積 $200 c m^{3}$ から浮力を求め、重力とのつり合いを考えましょう。

答えと解説

答えを見る

2.8

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

水面の高さを求める

P を沈めると、P が水中に入った体積の分だけ水面が上がる。静止したときの、P の底面から水面までの高さ（水中にある部分の高さ）を $d cm$ とすると、水面の容器の底からの高さは $(2 + d) cm$ である。

水の体積は変わらず $10 \times 10 \times 10 = 1000 (c m^{3})$ である。容器の底から水面までの部分の体積から、そこにある P の部分の体積を引いたものが水の体積なので
$100 \times (2 + d) - 20 \times d = 1000$
$200 + 100 d - 20 d = 1000$
$80 d = 800, d = 10$
よって水面の高さは $12 cm$ で、P の上面（底から $2 + 12 = 14 cm$ ）は水面より上にある。P は高さ $10 cm$ ぶんだけ水中にある。

浮力を求める

水中にある P の体積は $20 \times 10 = 200 (c m^{3})$ である。浮力の大きさは、物体が押しのけた水にはたらく重力の大きさに等しい（P の下面が受ける水圧による上向きの力と、上面には水がないことから、この大きさになる）。押しのけた水の質量は $1 \times 200 = 200 (g)$ なので、浮力は $2 N$ である。

ばねばかりの値

P にはたらく重力は $4.8 N$ （下向き）、浮力は $2 N$ （上向き）、ばねばかりが引く力は上向きである。P は静止しているので力はつり合い、ばねばかりが引く力は
$4.8 - 2 = 2.8 (N)$
よって、ばねばかりは $2.8 N$ を示す。

別解

物体 P にはたらく重力は $480 \div 100 \times 1 = 4.8$ N。
P を沈めると水面が上がるので、P を沈めたあとの水面の高さを $h$ cm とする。容器の底面積は $10 \times 10 = 100$ cm²、P の底面積は $4 \times 5 = 20$ cm²。P の底面は容器の底から $2$ cm の高さにあるので、水中にある P の部分の高さは $h - 2$ cm（P の高さ $12$ cm 以下と仮定）。
水の体積は変わらず最初は $100 \times 10 = 1000$ cm³ なので、 $100 h - 20 (h - 2) = 1000$ 。 $80 h + 40 = 1000$ 、 $80 h = 960$ 、 $h = 12$ 。
水中にある P の高さは $12 - 2 = 10$ cm で、P の高さ $12$ cm より小さいので仮定は正しい（P の上の面は水面より上にある）。
水中にある P の体積は $20 \times 10 = 200$ cm³。押しのけた水の質量は $200$ g なので、浮力は $200 \div 100 \times 1 = 2$ N。
ばねばかりの示す値は $4.8 - 2 = 2.8$ N。
検算: 水の体積は、水面 $12$ cm 分の容器 $100 \times 12 = 1200$ cm³ から P の水中部分 $200$ cm³ を引いて $1000$ cm³ となり、最初の水の体積と一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる