物質量と化学反応式の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校化学物質量と化学反応式

メタン $CH_{4}$ と水素 $H_{2}$ の混合気体 $30 mL$ に、酸素 $O_{2}$ $100 mL$ を加えて点火し、メタンと水素を完全に燃焼させた。反応はそれぞれ次の化学反応式に従うものとする。
$CH_{4} + 2 O_{2} ⟶ CO_{2} + 2 H_{2} O$
$2 H_{2} + O_{2} ⟶ 2 H_{2} O$
反応後、はじめと同じ温度・圧力に戻したところ、生じた水はすべて液体になり、残った気体の体積は $80 mL$ であった。このとき残っている気体のうち、反応せずに残った酸素の体積は何 $mL$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、体積はすべて同じ温度・圧力で測定したものとし、気体は理想気体とみなせるものとする。液体の水の体積、水蒸気の量、および気体の水への溶解は無視できるものとする。

この問題で使うもの

気体の反応と体積の変化（説明と入口の問題）
混合物の組成の決定（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

同温・同圧では気体の体積比は物質量比に等しいので、反応式の係数をそのまま体積の比として使えます。メタンを $a mL$ 、水素を $b mL$ とおきましょう。

ヒント 2

水は液体になるので、反応による気体の体積の減少に注目します。メタン 1 体積あたり 2 体積、水素 1 体積あたり $\frac{3}{2}$ 体積だけ気体が減ります。

ヒント 3

$a + b = 30$ 、 $2 a + \frac{3}{2} b = 50$ を解くと $a = 10$ 、 $b = 20$ です。消費された酸素は $2 a + \frac{1}{2} b$ で求められます。

答えと解説

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70

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解説を読む

同じ温度・圧力では、気体の体積は物質量に比例する（アボガドロの法則）ので、反応式の係数の比をそのまま体積の比として使える。

はじめのメタンを $a [mL]$ 、水素を $b [mL]$ とすると
$a + b = 30 \dots (1)$

気体の体積の減少量

水は液体になるので、気体として数えない。
- メタンの燃焼： $CH_{4}$ $1$ 体積と $O_{2}$ $2$ 体積（計 $3$ 体積）が、 $CO_{2}$ $1$ 体積になる。減少は $3 - 1 = 2$ 体積で、メタン $a mL$ あたり $2 a mL$ 減る。
- 水素の燃焼： $H_{2}$ $2$ 体積と $O_{2}$ $1$ 体積（計 $3$ 体積）がすべて液体の水になる。水素 $b mL$ あたり $\frac{3}{2} b mL$ 減る。

全体の減少量は $(30 + 100) - 80 = 50 mL$ なので
$2 a + \frac{3}{2} b = 50 \dots (2)$
$(1)$ より $b = 30 - a$ を $(2)$ に代入して
$2 a + 45 - \frac{3}{2} a = 50 ⟹ \frac{1}{2} a = 5 ⟹ a = 10, b = 20$

消費された酸素と残った酸素

消費された $O_{2}$ は
$2 a + \frac{1}{2} b = 2 \times 10 + \frac{1}{2} \times 20 = 30 mL$
これは $100 mL$ より少ないので、酸素は過剰であり、メタンと水素は完全に燃焼できる。残った $O_{2}$ は
$100 - 30 = 70 mL$
（確認：残った気体は $CO_{2}$ $10 mL$ と $O_{2}$ $70 mL$ で、合計 $80 mL$ となり、条件と一致する。）

別解

混合気体中のメタンの体積を $x mL$ 、水素の体積を $y mL$ とすると $x + y = 30$ 。

同じ温度・圧力では、気体の体積比は物質量の比に等しい。

消費される酸素:
- $CH_{4}$ : $x mL$ に対して $2 x mL$
- $H_{2}$ : $y mL$ に対して $\frac{y}{2} mL$

生成する $CO_{2}$ は $x mL$ （水は液体なので気体に含まない）。

反応後の気体は、残った $O_{2}$ と $CO_{2}$ だけで
$(100 - 2 x - \frac{y}{2}) + x = 80$
$x + \frac{y}{2} = 20$

$x + y = 30$ と連立して、 $\frac{y}{2} = 10$ 、 $y = 20$ 、 $x = 10$ 。

消費された酸素は $2 \times 10 + \frac{20}{2} = 30 mL$ 。残った酸素は $100 - 30 = 70 mL$ 。

検算: $CO_{2} = 10 mL$ 、残った $O_{2} = 70 mL$ で合計 $80 mL$ となり、問題文の条件と一致する。

よって $70 mL$ 。

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