大地の変化の問題

手順 1: 各地点の初期微動継続時間を求める

初期微動継続時間は「S 波の到達時刻 − P 波の到達時刻」です。

• 地点 A: $20-12=8$（秒）
• 地点 B: $30-18=12$（秒）

手順 2: P 波の到達時刻と初期微動継続時間の関係を調べる

P 波も S 波も一定の速さで伝わるので、P 波が届くまでの時間も、初期微動継続時間も、どちらも震源までの距離に比例します。そのため、P 波の到達時刻が遅くなるほど、初期微動継続時間はそれに比例して長くなります。

地点 A と地点 B をくらべると、P 波の到達時刻は $18-12=6$ 秒遅く、初期微動継続時間は $12-8=4$ 秒長くなっています。つまり、P 波の到達時刻が $1$ 秒遅くなるごとに、初期微動継続時間は
$$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\text{(秒)}$$
ずつ長くなります。

（参考: 地点 A で初期微動継続時間 $8$ 秒が $\frac{2}{3}$ 秒ずつ短くなって $0$ になるのは、P 波の到達時刻が $8÷\frac{2}{3}=12$ 秒早いとき、つまり 10 時 0 分 0 秒です。これが地震の発生時刻です。）

手順 3: 地点 C の初期微動継続時間を求める

地点 C の P 波の到達時刻は、地点 B より $27-18=9$ 秒遅いので、初期微動継続時間は地点 B より
$$\frac{2}{3}\times 9=6\text{(秒)}$$
長くなります。よって、
$$12+6=18\text{(秒)}$$

確かめ: 発生時刻 10 時 0 分 0 秒から P 波が届くまで $27$ 秒なので、初期微動継続時間は $\frac{2}{3}\times 27=18$ 秒となり、同じ結果になります。

よって、地点 C での初期微動継続時間は $18$ 秒です。

初期微動継続時間は震源からの距離に比例する。したがって P 波が伝わった時間にも比例する。地震発生時刻を 10 時 0 分 $t_0$ 秒とする。地点 A の初期微動継続時間は $20-12=8$ 秒、地点 B は $30-18=12$ 秒。P 波が伝わった時間は A で $12-t_0$ 秒、B で $18-t_0$ 秒。比例の関係から $8:(12-t_0)=12:(18-t_0)$ より $8(18-t_0)=12(12-t_0)$、$144-8t_0=144-12t_0$ で $t_0=0$。つまり地震は 10 時 0 分 0 秒に発生した。A では P 波が 12 秒で届き初期微動継続時間は 8 秒なので、(初期微動継続時間)÷(P 波が伝わった時間) $=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。B でも $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ で一致する。地点 C では P 波が 27 秒で届いたので、初期微動継続時間は $27\times \frac{2}{3}=18$ 秒。検算: P 波の速さを $v_P$、S 波の速さを $v_S$ とすると $\frac{v_P}{v_S}=\frac{3}{2}\cdot$（S 波は P 波の $\frac{2}{3}$ の速さ）で、C の S 波は $27\times \frac{3}{2}=40.5$ 秒、差は $13.5$ 秒ではなく...S 波の時間は $\frac{12}{8}$ 倍でなく A では 20 秒なので $27\times \frac{20}{12}=45$ 秒、差は $45-27=18$ 秒となり一致する。