電池の電気エネルギーとエネルギー効率

取り出した電気エネルギーを $W = V Q$ [J] で求め、消費された燃料の物質量と燃焼熱から得られる熱量と比べて、エネルギー変換の効率（%）を求められる

前提

電池の電極反応と放電による量的変化（高校化学酸化還元と電池・電気分解）
物質量と出入りする熱量（高校化学化学反応とエネルギー）

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物質量と出入りする熱量（高校化学化学反応とエネルギー）

説明

電池は物質がもつ化学エネルギーを電気エネルギーに変える装置ですが、そのすべてが電気になるわけではありません。この技能では、電池から取り出した電気エネルギーを $W = V Q$ [J] で求め、同じ量の燃料を燃やしたときに出る熱量と比べて、エネルギー変換の効率（%）を求められるようになります。燃料電池が火力発電などと比べてどれだけ効率よくエネルギーを取り出せるかを考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

電圧 $V$ [V] とは、電荷 1 C が回路を一回りするあいだに運ぶエネルギーの大きさ [J] のことです（ $1 V = 1 J/C$ ）。したがって、電圧 $V$ の電池から電気量 $Q$ [C] を取り出したときの電気エネルギーは、1 C あたりのエネルギー $V$ に電気量 $Q$ をかけて
$W = V Q [J]$
となります。電気量は流れた電子の物質量から $Q = n_{e^{-}} F$ （または電流と時間から $Q = I t$ ）で求められます。

一方、同じ量の燃料（たとえば水素）を燃やしたときに出る熱量は、燃焼の $Δ H$ と消費された燃料の物質量から比例で求められます。これは、その燃料の反応から取り出しうるエネルギーの目安になります。

そこで、「燃焼で出る熱量のうち、何 % を電気エネルギーとして取り出せたか」をエネルギー変換の効率と考えます。
$効率 [%] = \frac{取り出した電気エネルギー}{燃料の燃焼で出る熱量} \times 100$
比べる 2 つのエネルギーは、必ず同じ物質量の燃料についての値で、同じ単位（J どうし、または kJ どうし）にそろえて割ります。

手順

反応式から、消費された燃料の物質量と流れた電子の物質量の関係を読み取り、 $n_{e^{-}}$ を求める（例: $H_{2} \to 2 H^{+} + 2 e^{-}$ なら $H_{2}$ 1 mol で電子 2 mol）
電気量を求める: $Q = n_{e^{-}} F$ （電流と時間が与えられていれば $Q = I t$ ）
電気エネルギーを求める: $W = V Q$ [J]
燃焼の $Δ H$ と燃料の物質量から、燃焼で出る熱量を求める（kJ なら $\times 1000$ して J に直すなど、単位をそろえる）
効率を計算する: $\frac{W}{熱量} \times 100$ [%]

例題

水素を燃料とする燃料電池を、端子間の電圧 $0.80 V$ で放電させたところ、水素 $0.100 mol$ が消費された。このとき取り出した電気エネルギーは、水素 $0.100 mol$ を燃焼させたときに発生する熱量の何 % にあたるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、負極では $H_{2} \to 2 H^{+} + 2 e^{-}$ の反応が起こり、消費された水素はすべてこの反応に使われたものとする。また、水素の燃焼は $H_{2} (気) + \frac{1}{2} O_{2} (気) \to H_{2} O (液) Δ H = - 286 kJ$ で表され、ファラデー定数は $9.65 \times 1 0^{4} C/mol$ とする。

例題の解答

手順 1（電子の物質量）: $H_{2}$ 1 mol で電子 2 mol なので
$n_{e^{-}} = 0.100 \times 2 = 0.200 mol$

手順 2（電気量）:
$Q = 0.200 \times 9.65 \times 1 0^{4} = 1.93 \times 1 0^{4} C$

手順 3（電気エネルギー）:
$W = V Q = 0.80 \times 1.93 \times 1 0^{4} = 1.544 \times 1 0^{4} J = 15.44 kJ$

手順 4（燃焼の熱量）: 1 mol で $286 kJ$ の発熱なので
$0.100 \times 286 = 28.6 kJ$

手順 5（効率）:
$\frac{15.44}{28.6} \times 100 = 53.98 \dots %$
有効数字 2 桁で $54 %$ 。

答え: $54$

よくある誤り

燃料の物質量をそのまま電子の物質量としてしまう誤り。正しくは反応式の係数比を使う。例: $H_{2} \to 2 H^{+} + 2 e^{-}$ なので $H_{2}$ $0.100 mol$ なら $n_{e^{-}} = 0.200 mol$
J と kJ をそろえずに割ってしまう誤り（例: $\frac{15440 J}{28.6 kJ}$ を $\frac{15440}{28.6}$ と計算する）。正しくは $15440 J = 15.44 kJ$ のように単位をそろえてから $\frac{15.44}{28.6}$ とする
電気エネルギーを $W = Q$ や $W = \frac{Q}{V}$ としてしまう誤り。正しくは電圧は 1 C あたりのエネルギーなので $W = V Q$
燃焼の熱量を、反応式 1 mol 分の $286 kJ$ のまま使ってしまう誤り。正しくは実際に消費された燃料の物質量をかけて $0.100 \times 286 = 28.6 kJ$ とし、電気エネルギーと同じ量の燃料どうしで比べる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
リン酸形の水素–酸素燃料電池を一定の電圧 $0.70 V$ で放電させたところ、水素 $0.10 mol$ が消費された。負極では次の反応が起こる。
$H_{2} \to 2 H^{+} + 2 e^{-}$
また、水素の燃焼は次の式で表される。
$H_{2} (気) + \frac{1}{2} O_{2} (気) \to H_{2} O (液) Δ H = - 286 kJ$
ファラデー定数を $9.65 \times 1 0^{4} C/mol$ とし、消費された水素はすべて電池の反応に使われたものとする。取り出した電気エネルギーは、消費された水素を燃焼させたときに発生する熱量の何 $%$ にあたるか。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
電解液にリン酸水溶液を用いた水素–酸素燃料電池がある。この燃料電池では、負極に水素、正極に酸素が供給され、次の反応が起こる。
$負極 : H_{2} ⟶ 2 H^{+} + 2 e^{-}$
$正極 : O_{2} + 4 H^{+} + 4 e^{-} ⟶ 2 H_{2} O$
この燃料電池を、 $4.00 A$ の一定の電流で 80 分 25 秒間放電させた。放電中の電池の電圧は $0.75 V$ で一定であった。
放電中に消費された水素がもつ燃焼熱のうち、電気エネルギーとして取り出された割合は何 % か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、ファラデー定数は $F = 9.65 \times 1 0^{4} C/mol$ 、水素の燃焼熱は $286 kJ/mol$ （生成する水は液体）とする。取り出された電気エネルギー [J] は、電圧 [V] と流れた電気量 [C] の積で表されるものとする。供給された水素は、すべて負極の反応にだけ使われたものとする。