ゲーム理論の問題

準備

$x=y=t$ のときの値 $t-t^2$ は、$2t-1$ と $1-2t^2$ の平均 $\frac{(2t-1)+(1-2t^2)}{2}=t-t^2$ である。したがって $t-t^2$ はつねに $2t-1$ と $1-2t^2$ の間にあり、
$$\min \{2t-1,t-t^2,1-2t^2\}=\min \{2t-1,1-2t^2\},\max \{2t-1,t-t^2,1-2t^2\}=\max \{2t-1,1-2t^2\}$$
が成り立つ。

また、$2t-1$ は増加関数、$1-2t^2$ は $[0,1]$ で減少関数で、両者が等しくなるのは
$$2t-1=1-2t^2⟺t^2+t-1=0⟺t=x_0=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(0<x_0<1)$$
のときである。$x_0^2=1-x_0$ より
$$2x_0-1=\sqrt{5}-2,1-2x_0^2=1-2(1-x_0)=2x_0-1=\sqrt{5}-2.$$
よって $t<x_0$ では $2t-1<\sqrt{5}-2<1-2t^2$、$t>x_0$ では $1-2t^2<\sqrt{5}-2<2t-1$ である。

プレイヤー 1 の保証水準（下側の値）

$f(x)=\underset{y\in [0,1]}{\inf }K(x,y)$ とおく。

- $0<x<1$ のとき: $y>x$ では $K=2x-1$（$y$ によらない）、$y=x$ では $K=x-x^2$、$y<x$ では $K=1-2y^2$ が $y$ について減少するので $y\in [0,x)$ での下限は $y\to x-0$ のときの $1-2x^2$。よって
$$f(x)=\min \{2x-1,x-x^2,1-2x^2\}=\min \{2x-1,1-2x^2\}.$$
- $x=0$ のとき: $y>0$ で $K=-1$、$y=0$ で $K=0$ なので $f(0)=-1$。
- $x=1$ のとき: $y<1$ で $K=1-2y^2$ は $y\to 1-0$ で $-1$ に近づき、$y=1$ で $K=0$ なので $f(1)=-1$。

準備の結果から、$0<x<1$ では $f(x)\le \sqrt{5}-2$ で、等号は $x=x_0$ のときだけ成り立つ。端点では $f(0)=f(1)=-1<\sqrt{5}-2$。したがって
$$\underset{x}{\sup }f(x)=f(x_0)=\sqrt{5}-2.$$

プレイヤー 2 の保証水準（上側の値）

$g(y)=\underset{x\in [0,1]}{\sup }K(x,y)$ とおく。

- $0<y<1$ のとき: $x<y$ では $K=2x-1$ が $x$ について増加するので上限は $x\to y-0$ のときの $2y-1$、$x=y$ では $K=y-y^2$、$x>y$ では $K=1-2y^2$（$x$ によらない）。よって
$$g(y)=\max \{2y-1,y-y^2,1-2y^2\}=\max \{2y-1,1-2y^2\}.$$
- $y=0$ のとき: $x>0$ で $K=1-0=1$、$x=0$ で $K=0$ なので $g(0)=1$。
- $y=1$ のとき: $x<1$ で $K=2x-1$ は $x\to 1-0$ で $1$ に近づき、$x=1$ で $K=0$ なので $g(1)=1$。

準備の結果から、$0<y<1$ では $g(y)\ge \sqrt{5}-2$ で、等号は $y=x_0$ のときだけ成り立つ。端点では $g(0)=g(1)=1>\sqrt{5}-2$。したがって
$$\underset{y}{\inf }g(y)=g(x_0)=\sqrt{5}-2.$$

結論

下側の値 ${\sup }_x{\inf }_{y}K$ と上側の値 ${\inf }_y{\sup }_{x}K$ はともに $\sqrt{5}-2$ で一致するので、ゲームの値は
$$\sqrt{5}-2$$
である。両者とも時刻 $x_0=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ に撃つのが最適戦略で、この時刻は 2 人の命中確率の和 $t+t^2$ がちょうど $1$ になる時刻である。

【プレイヤー 1 の maximin】 固定した $x$ に対し、$y$ を動かしたときの $K(x,y)$ の下限を求める。
- $y>x$ のとき $K=2x-1$（$y$ によらない）。
- $y<x$ のとき $K=1-2y^2$ は $y$ について減少するので、$y\to x-0$ で下限 $1-2x^2$（$y$ の範囲が $[0,x)$ なので下限は到達しないが inf として $1-2x^2$）。
- $y=x$ のとき $K=x-x^2$。
よって ${\inf }_{y}K(x,y)=\min \{2x-1,1-2x^2,x-x^2\}$（$0<x<1$）。
$2x-1$ は増加、$1-2x^2$ は減少。交点は $2x-1=1-2x^2$ すなわち $x^2+x-1=0$ より $x_0=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。このとき $x_0^2=1-x_0$ なので $x_0-x_0^2=2x_0-1$ となり、3 つの値はすべて等しい。$x\le x_0$ では $\min =2x-1$（増加）、$x\ge x_0$ では $\min =1-2x^2$（減少）なので、${\sup }_x{\inf }_{y}K=2x_0-1=\sqrt{5}-2$。

【プレイヤー 2 の minimax】 固定した $y$ に対し ${\sup }_{x}K(x,y)$ を考える。$x<y$ では $2x-1\to 2y-1$（上限）、$x>y$ では $1-2y^2$、$x=y$ では $y-y^2$。よって ${\sup }_{x}K=\max \{2y-1,1-2y^2,y-y^2\}$。$2y-1$ は増加、$1-2y^2$ は減少で、$y_0=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ で一致し最小値 $2y_0-1=\sqrt{5}-2$（$y_0-y_0^2$ も同じ値）。

両者が一致するのでゲームの値は $\sqrt{5}-2$。

【検算】 $x_0\approx 0.618$ のとき $2x_0-1\approx 0.236$, $1-2x_0^2\approx 1-0.764=0.236$, $x_0-x_0^2\approx 0.236$。$\sqrt{5}-2\approx 0.236$ で一致。