電流と回路の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電流と回路

抵抗値 $R_{1} = 20 Ω$ , $R_{2} = 30 Ω$ , $R_{3} = 40 Ω$ の 3 つの抵抗と、抵抗値 $R_{x}$ の未知の抵抗、検流計、電池を使って次のような回路をつくった。

点 P から点 C を通って点 Q へ向かう道すじでは、P と C のあいだに $R_{1}$ 、C と Q のあいだに $R_{2}$ をつなぐ。点 P から点 D を通って点 Q へ向かうもう一方の道すじでは、P と D のあいだに $R_{3}$ 、D と Q のあいだに $R_{x}$ をつなぐ。さらに点 C と点 D のあいだに検流計をつなぎ、点 P と点 Q のあいだに電池をつなぐ。

このとき、検流計には電流が流れなかった。 $R_{x}$ は何 $Ω$ か。ただし、導線の抵抗と電池の内部抵抗は無視できるものとする。

P

Q

C

D

R_{1}

（

20 Ω

）

R_{2}

（

30 Ω

）

R_{3}

（

40 Ω

）

R_{x}

G

この問題で使うもの

ホイートストンブリッジとメートルブリッジ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

検流計に電流が流れないときの、ホイートストンブリッジのつりあいの条件を使います。

ヒント 2

検流計に電流が流れないとき、点 C と点 D の電位は等しく、 $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$ が成り立ちます。

ヒント 3

$\frac{20}{30} = \frac{40}{R _{x}}$ より、 $R_{x} = \frac{30 \times 40}{20}$ を計算します。

答えと解説

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60

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解説を読む

ホイートストンブリッジのつりあいの条件を使う。

検流計に電流が流れないので、点 C と点 D の電位は等しい。

また、検流計に電流が流れないので、 $R_{1}$ を流れた電流はすべて $R_{2}$ に流れる。この電流を $I_{1}$ とする。同じように、 $R_{3}$ と $R_{x}$ を流れる電流は等しく、これを $I_{2}$ とする。

C と D の電位が等しいので、P から C までの電圧降下と P から D までの電圧降下は等しく、C から Q までと D から Q までの電圧降下も等しい。オームの法則より
$R_{1} I_{1} = R_{3} I_{2} (1)$
$R_{2} I_{1} = R_{x} I_{2} (2)$
$(1)$ を $(2)$ で辺々割ると
$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$
となる（これがブリッジのつりあいの条件）。

よって
$R_{x} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} = \frac{30 \times 40}{20} = 60 Ω$

答え: $60 Ω$

別解

ホイートストンブリッジの回路である。検流計に電流が流れないとき、C と D の電位が等しい。

P→C→Q の道すじを流れる電流を $I_{1}$ とすると、検流計に電流が流れないので R_1 と R_2 に同じ電流 $I_{1}$ が流れる。P→D→Q の道すじを流れる電流を $I_{2}$ とすると、R_3 と R_x に同じ電流 $I_{2}$ が流れる。

P と C の電位差と P と D の電位差が等しいので、
$R_{1} I_{1} = R_{3} I_{2}$ …①

C と Q の電位差と D と Q の電位差が等しいので、
$R_{2} I_{1} = R_{x} I_{2}$ …②

①と②の辺々を割ると、
$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$

よって
$R_{x} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} = \frac{30 \times 40}{20} = 60 Ω$

検算：電池の電圧を 10 V と仮定すると、P→C→Q では全抵抗 50 Ω で $I_{1} = 0.2$ A、C の電位降下は $20 \times 0.2 = 4$ V。P→D→Q では全抵抗 100 Ω で $I_{2} = 0.1$ A、D の電位降下は $40 \times 0.1 = 4$ V。電位降下が等しく、C と D は等電位となり、条件を満たす。

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