ホイートストンブリッジとメートルブリッジ

検流計に電流が流れない条件 $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$ （両側の分圧が等しい）を使い、未知の抵抗値や、メートルブリッジで抵抗線の長さの比から未知の抵抗値・つりあう接点の位置を求められる

前提

抵抗率（高校物理電流と回路）

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抵抗率（高校物理電流と回路）

説明

ホイートストンブリッジは、抵抗を4つ組み合わせた回路の中央に検流計（ごく小さな電流を検出する電流計）をつなぎ、検流計の針が振れない（電流が0になる）ように調整して未知の抵抗値を求める方法です。電流が0になる条件は抵抗値の比だけで決まり、電池の起電力や検流計の抵抗には関係しません。メートルブリッジは、2つの抵抗の代わりに一様な抵抗線を使い、すべり接点の位置（長さの比）を読むことで抵抗の比を求める装置です。未知の抵抗値を求める問題や、つりあう接点の位置を求める問題で使います。

なぜそうしてよいのか

次の回路を考えます。電池を点 A と点 B の間につなぎます。A から B へ向かう経路は2本あり、一方は A→ $R_{1}$ →C→ $R_{2}$ →B、もう一方は A→ $R_{3}$ →D→ $R_{x}$ →B です。点 C と点 D の間に検流計をつなぎます。検流計に電流が流れないのは、C と D の電位が等しいときです。このとき検流計を通る電流は0なので、 $R_{1}$ と $R_{2}$ には同じ電流 $I_{1}$ が流れ、 $R_{3}$ と $R_{x}$ には同じ電流 $I_{2}$ が流れます（ $I_{1}$ と $I_{2}$ は一般に異なります）。

A から C までの電圧降下と A から D までの電圧降下が等しいので $R_{1} I_{1} = R_{3} I_{2}$ 、同様に C から B と D から B についても $R_{2} I_{1} = R_{x} I_{2}$ です。辺々割ると $I_{1}, I_{2}$ が消えて $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}} (すなわち R_{1} R_{x} = R_{2} R_{3})$ が得られます。言いかえると「左の経路で電圧が $R_{1} : R_{2}$ に分かれる割合」と「右の経路で $R_{3} : R_{x}$ に分かれる割合」が同じになれば、途中の点の電位がそろう、ということです。電流や起電力が式から消えるので、つりあいの条件は抵抗の比だけで決まります。

メートルブリッジでは、 $R_{3}, R_{x}$ のかわりに A と B の間に張った太さと材質が一様な長さ $L$ の抵抗線を使い、すべり接点 D を A から長さ $l$ の位置に当てます。抵抗率の式 $R = ρ \frac{L}{S}$ より、AD 部分の抵抗は $ρ \frac{l}{S}$ 、DB 部分は $ρ \frac{L - l}{S}$ です。その比は $ρ$ と $S$ が約分されて $\frac{l}{L - l}$ となり、長さの比がそのまま抵抗の比になります。したがって、もう一方の経路に既知の抵抗 $R$ （A 側）と未知の抵抗 $R_{x}$ （B 側）を置けば、つりあいの条件は $\frac{R}{R _{x}} = \frac{l}{L - l}$ です。

手順

回路を「電池をつないだ2点 A, B の間に並んだ2本の経路」と見て、検流計の両端（C と D）がそれぞれどの抵抗とどの抵抗の間にあるかを確認する
同じ側（A 側どうし、B 側どうし）にある抵抗を対応させて、つりあいの式 $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$ （A 側/B 側＝A 側/B 側）を書く。 $R_{1} R_{x} = R_{2} R_{3}$ （向かい合う抵抗の積が等しい）と書いてもよい
メートルブリッジでは、抵抗線の A 側の長さ $l$ と B 側の長さ $L - l$ を求め、抵抗線の抵抗の比を $\frac{l}{L - l}$ に置きかえる
式を未知の量（抵抗値や接点の位置 $l$ ）について解き、値を求める

例題

太さと材質が一様な長さ $100.0 cm$ の抵抗線 AB の両端 A, B に電池をつなぐ。また、A と B の間に、抵抗値 $30 Ω$ の抵抗と抵抗値のわからない抵抗 $R_{x}$ をこの順に（A 側に $30 Ω$ 、B 側に $R_{x}$ ）直列につなぎ、その2つの抵抗の接続点を C とする。点 C と抵抗線上のすべり接点 D の間に検流計をつなぎ、D を動かしたところ、AD の長さが $40.0 cm$ のとき検流計に電流が流れなくなった。 $R_{x}$ は何 $Ω$ か。有効数字 2 桁で求めよ。導線と接点の抵抗は無視する。

例題の解答

手順1: A と B の間に2本の経路がある。一方は A→ $30 Ω$ →C→ $R_{x}$ →B、もう一方は抵抗線 A→D→B。検流計は C と D の間にある。
手順2: A 側どうし、B 側どうしを対応させて、 $\frac{30}{R _{x}} = \frac{( AD の抵抗 )}{( DB の抵抗 )}$ 。
手順3: 抵抗線は一様なので抵抗は長さに比例する。AD $= 40.0 cm$ 、DB $= 100.0 - 40.0 = 60.0 cm$ より、 $\frac{( AD の抵抗 )}{( DB の抵抗 )} = \frac{40.0}{60.0}$ 。
手順4: $\frac{30}{R _{x}} = \frac{40.0}{60.0}$ を解いて $R_{x} = 30 \times \frac{60.0}{40.0} = 45 Ω$ 。

答え: $45$

よくある誤り

比の対応を逆にして $\frac{30}{R _{x}} = \frac{60.0}{40.0}$ （ $R_{x} = 20 Ω$ ）としてしまう誤り。正しくは、既知の抵抗と同じ A 側にある AD の長さを分子にそろえて $\frac{30}{R _{x}} = \frac{40.0}{60.0}$ 、 $R_{x} = 45 Ω$ 。
抵抗線の比を接点までの長さと全長の比 $\frac{l}{L}$ にしてしまう誤り（例: $\frac{30}{R _{x}} = \frac{40.0}{100.0}$ ）。正しくは、検流計をはさんで分かれた2つの部分の比 $\frac{l}{L - l} = \frac{40.0}{60.0}$ を使う。
つりあっているとき、2本の経路に同じ電流が流れると考えてしまう誤り。等しいのは同じ経路の2つの抵抗を流れる電流（ $R_{1}$ と $R_{2}$ に $I_{1}$ 、 $R_{3}$ と $R_{x}$ に $I_{2}$ ）であり、 $I_{1}$ と $I_{2}$ は一般に異なる。条件は $R_{1} I_{1} = R_{3} I_{2}$ と $R_{2} I_{1} = R_{x} I_{2}$ を割って得る $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{x}}$ 。
つりあいの条件が電池の起電力や検流計の抵抗、抵抗線の抵抗率 $ρ$ ・断面積 $S$ によって変わると考えてしまう誤り。正しくは、電流は式を割ったときに消え、 $ρ$ と $S$ も $\frac{ρl / S}{ρ ( L - l ) / S} = \frac{l}{L - l}$ と約分されるので、条件は抵抗の比（長さの比）だけで決まる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ホイートストンブリッジとメートルブリッジ

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