水 g に食塩 g をすべてとかして、食塩水をつくりました。この食塩水の濃さは何 % ですか。
食塩水の濃さ
食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃さ の関係を使って、食塩水の濃さ・食塩の重さ・食塩水の重さを求め、水や食塩を加えたあとの濃さや加える量を求められる
前提
- 百分率と歩合 （算数 割合と比）
この技能までの道筋（3 技能）
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- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
- 百分率と歩合 （算数 割合と比）
説明
食塩水の濃さとは、食塩水全体の重さをもとにしたときの、とけている食塩の重さの割合のことで、ふつう百分率（%）で表します。「食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃さ」の関係を使うと、濃さ・食塩の重さ・食塩水の重さのうち 2 つから残りの 1 つを求められます。さらに、水や食塩を加えたときに何が変わり何が変わらないかに注目すると、加えたあとの濃さや、加える量も求められます。
なぜそうしてよいのか
濃さは割合なので、もとにする量が「食塩水の重さ」（食塩と水を合わせた重さ）、くらべる量が「食塩の重さ」です。割合の基本「くらべる量 ＝ もとにする量 × 割合」にあてはめると、食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃さ になります。ここから、濃さ ＝ 食塩の重さ ÷ 食塩水の重さ、食塩水の重さ ＝ 食塩の重さ ÷ 濃さ とも計算できます。濃さが 8 % なら、計算では 0.08 として使います。気をつけたいのは、もとにする量が「水の重さ」ではなく「食塩水の重さ」であることです。
水を加えると、食塩水の重さは増えますが、とけている食塩の重さは変わりません（加えるのはただの水で、食塩は入っていないからです）。だから、まずもとの食塩水にふくまれる食塩の重さを求め、それを加えたあとの食塩水の重さで割れば、新しい濃さがわかります。食塩を加えるときは、食塩の重さと食塩水の重さの両方が、加えた食塩の分だけ増えます。
逆に「何 g の水を加えれば □ % になるか」は、変わらない食塩の重さから、□ % になるときの食塩水の重さ（食塩の重さ ÷ 濃さ）を求め、もとの重さとの差を出します。たとえば 8 % の食塩水 200 g に水を加えて 5 % にするなら、食塩は (g) で変わらないので、5 % になるときの食塩水の重さは (g) です。もとの 200 g との差 (g) が加える水の重さです。
手順
濃さを小数になおす（例: 、）
わかっている 2 つの量から、食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃さ を使って食塩の重さを求める（求めるものによっては 濃さ ＝ 食塩の重さ ÷ 食塩水の重さ、食塩水の重さ ＝ 食塩の重さ ÷ 濃さ を使う）
水や食塩を加えたあとの、食塩の重さと食塩水の重さをそれぞれ求める（水を加えても食塩の重さは変わらない。食塩を加えると両方が同じ重さだけ増える）
加えたあとの濃さを求めるときは、濃さ ＝ 食塩の重さ ÷ 食塩水の重さ を計算し、100 をかけて百分率になおす
加える水の量を求めるときは、変わらない食塩の重さを目標の濃さで割って、できあがりの食塩水の重さを出し、もとの重さをひく（例: 、）
例題
8 % の食塩水 200 g に、水を 120 g 加えました。できた食塩水の濃さは何 % ですか。
例題の解答
【手順 1】8 % を小数になおすと です。
【手順 2】もとの食塩水にふくまれる食塩の重さは (g) です。
【手順 3】水を加えても食塩の重さは 16 g のままです。食塩水の重さは (g) になります。
【手順 4】濃さは で、百分率になおすと (%) です。
（たしかめ: 手順 5 の考え方で、8 % の食塩水 200 g を 5 % にするのに加える水を求めると 、 (g) となり、問題の 120 g と合っています。）
答え: 5 %
答え:
よくある誤り
水の重さをもとにして濃さを計算してしまう誤り（水 184 g に食塩 16 g なら とする）。正しくは食塩水の重さ をもとにして で 8 %
水を加えたら食塩の重さも増えると考えてしまう誤り（8 % の食塩水 200 g に水 120 g を加えたとき、全体 320 g の 8 % が食塩だとして (g) とし、濃さは 8 % のままとする）。正しくは加えたのはただの水なので食塩は 16 g のままで、 で 5 %
濃さどうしを直接計算してしまう誤り（8 % の食塩水に水（0 %）を加えたので、濃さを (%) とする）。正しくは重さで考えて、食塩 16 g を食塩水 320 g で割り で 5 %
食塩を加えたとき、食塩水の重さを増やし忘れる誤り（10 % の食塩水 180 g に食塩 20 g を加えて とする）。正しくは食塩水も 20 g 増えるので で 19 %
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
濃さが 5 % の食塩水 200 g と、濃さが 10 % の食塩水 300 g をよく混ぜました。できた食塩水の濃さは何 % ですか。
濃さが 8 % の食塩水が 250 g あります。この食塩水を熱して、水だけを 50 g 蒸発させました。できた食塩水の濃さは何 % ですか。
濃さが 6 % の食塩水が 400 g あります。この食塩水に食塩を何 g か加えてよくとかしたところ、濃さが 20 % の食塩水になりました。加えた食塩は何 g ですか。
容器 A には濃さ 8 % の食塩水が 400 g、容器 B には濃さ 5 % の食塩水が 200 g 入っています。まず、A から 100 g の食塩水を取り出して B に入れ、よくかき混ぜました。次に、B から何 g かの食塩水を取り出して A に入れ、よくかき混ぜたところ、A の食塩水の濃さは 7.6 % になりました。B から A に入れた食塩水は何 g ですか。
容器 A には濃さが 10 % の食塩水が 300 g、容器 B には濃さが 4 % の食塩水が 200 g 入っています。まず、A から 100 g の食塩水を取り出して B に入れ、よくかき混ぜました。次に、B から 100 g の食塩水を取り出して A に入れ、よくかき混ぜました。このとき、A の食塩水の濃さは何 % ですか。分数で答えなさい。
濃さが 6 % の食塩水と濃さが 11 % の食塩水を混ぜて、濃さが 8 % の食塩水を 600 g つくる予定でした。ところが、まちがえて 6 % の食塩水と 11 % の食塩水の重さを予定と逆にして混ぜてしまいました。そこで、できた食塩水に水を加えて、濃さを予定どおりの 8 % にしました。加えた水は何 g ですか。
容器に、ある濃さの食塩水が 400 g 入っています。次の操作を順に行いました。
容器から食塩水を 100 g 取り出し、かわりに水を 100 g 入れて、よくかき混ぜる。
容器から食塩水を 100 g 取り出し、かわりに濃さ 15 % の食塩水を 100 g 入れて、よくかき混ぜる。
すると、容器の食塩水の濃さは 10.5 % になりました。はじめの食塩水の濃さは何 % ですか。
この技能の次に学べること
- 食塩水を混ぜる問題 （算数 割合と比）