空気塊の露点の変化と吹き下りた後の湿度

飽和していない空気塊の露点の高度変化と、飽和後は気温と露点が等しいことを使って、山を越えたあとの空気塊の気温・露点を求め、飽和水蒸気圧の表から相対湿度を求められる

前提

フェーン現象（高校地学大気と気象）

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フェーン現象（高校地学大気と気象）

説明

フェーン現象では、山を越えた空気塊が風下側で高温になるだけでなく、乾燥することが知られています。この技能では、空気塊の気温だけでなく露点も高度とともに追いかけ、風下のふもとでの気温と露点を求めます。そのうえで、飽和水蒸気圧の表から相対湿度を計算し、山を越える前と比べてどれだけ乾燥したかを数値で示せるようになります。

なぜそうしてよいのか

相対湿度は、空気中の水蒸気圧 $e$ と、その気温での飽和水蒸気圧 $e_{s} (T)$ の比 $\frac{e}{e _{s} ( T )} \times 100 %$ です。露点 $T_{d}$ は、その水蒸気圧でちょうど飽和する温度なので $e = e_{s} (T_{d})$ と表せます。したがって、気温 $T$ と露点 $T_{d}$ がわかれば、相対湿度は $\frac{e _{s} ( T _{d} )}{e _{s} ( T )} \times 100 %$ として表から求められます。

飽和していない空気塊が上昇すると、膨張して全体の気圧が下がり、それと同じ割合で水蒸気圧も下がります。水蒸気の量そのものは変わりませんが、水蒸気圧が下がるので露点もわずかに下がり、その割合はおよそ $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ です。下降するときは逆に圧縮されて水蒸気圧が上がり、露点は $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ 上がります。気温は乾燥断熱減率（ $100 m$ につき $1. 0^{\circ} C$ ）で変わるので、上昇中は気温と露点の差が $100 m$ ごとに $0. 8^{\circ} C$ ずつ縮まり、差が 0 になった高さで飽和して雲ができます。

雲の中では空気塊は飽和しているので、気温と露点は等しく、どちらも湿潤断熱減率で下がります。山頂で雲が消え、凝結した水が雨として風上側に落ちてしまえば、吹き下りる空気塊は飽和していない状態から下降を始めます。このとき気温は $100 m$ につき $1. 0^{\circ} C$ 、露点は $0. 2^{\circ} C$ しか上がらないので、気温と露点の差が大きく開き、相対湿度が低くなります。これが、フェーンで風下が乾燥する理由です。

手順

風上側のふもとの気温 $T_{0}$ と露点 $T_{d 0}$ から、雲底の高さ $h = \frac{T _{0} - T _{d 0}}{0.8} \times 100 m$ （ふもとからの高さ）と、雲底での気温＝露点を求める
雲底から山頂まで、気温と露点が等しいまま湿潤断熱減率で下がることを使い、山頂の気温＝露点を求める
山頂から風下のふもとまで吹き下りるあいだ、気温は乾燥断熱減率で上がり、露点は $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ 上がることを使って、風下のふもとの気温 $T$ と露点 $T_{d}$ を求める
飽和水蒸気圧の表から $e_{s} (T_{d})$ と $e_{s} (T)$ を読み、相対湿度 $= \frac{e _{s} ( T _{d} )}{e _{s} ( T )} \times 100 %$ を計算して、指定された桁に丸める

例題

風上側のふもと（標高 $0 m$ ）で気温 $2 0^{\circ} C$ 、露点 $1 2^{\circ} C$ の空気塊が、標高 $2000 m$ の山を越えて、風下側のふもと（標高 $0 m$ ）まで吹き下りた。空気塊は飽和していないとき気温が $100 m$ につき $1. 0^{\circ} C$ 、露点が $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ の割合で変化し、飽和しているとき（雲の中）は気温と露点が等しいまま $100 m$ につき $0. 5^{\circ} C$ の割合で変化する。雲は風上側にだけでき、山頂に達したところで消えて、凝結した水はすべて雨として風上側に降ったものとする。飽和水蒸気圧は次の表のとおりである。

気温（ $^{\circ} C$ ）	5	9	10	12	20	25
飽和水蒸気圧（hPa）	8.7	11.5	12.3	14.0	23.4	31.7

風下側のふもとでの空気塊の相対湿度は何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

例題の解答

手順 1：上昇中は気温と露点の差が $100 m$ につき $1.0 - 0.2 = 0. 8^{\circ} C$ ずつ縮まる。ふもとでの差は $20 - 12 = 8^{\circ} C$ なので、雲底の高さは
$h = \frac{8}{0.8} \times 100 = 1000 m$
雲底での気温は $20 - 1.0 \times 10 = 1 0^{\circ} C$ 、露点は $12 - 0.2 \times 10 = 1 0^{\circ} C$ で、確かに等しい。
手順 2：雲底 $1000 m$ から山頂 $2000 m$ までの $1000 m$ は、気温＝露点のまま $100 m$ につき $0. 5^{\circ} C$ 下がるので、山頂では
$10 - 0.5 \times 10 = 5^{\circ} C (気温 = 露点 = 5^{\circ} C)$
手順 3：山頂から風下のふもとまで $2000 m$ 吹き下りる。飽和していないので
$T = 5 + 1.0 \times 20 = 2 5^{\circ} C, T_{d} = 5 + 0.2 \times 20 = 9^{\circ} C$
手順 4：表より $e_{s} (9^{\circ} C) = 11.5 hPa$ 、 $e_{s} (2 5^{\circ} C) = 31.7 hPa$ なので
$相対湿度 = \frac{11.5}{31.7} \times 100 ≒ 36.3 %$
小数第 1 位を四捨五入して $36 %$ 。（風上側のふもとでは $\frac{14.0}{23.4} \times 100 ≒ 60 %$ だったので、山を越えて大きく乾燥したことがわかる。）

答え: $36$

よくある誤り

飽和していない空気塊の露点を高度によらず一定としてしまう誤り。例題で風下の露点を $5^{\circ} C$ のままにすると相対湿度は $\frac{8.7}{31.7} \times 100 ≒ 27 %$ になってしまう。正しくは露点も $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ 変わり、 $T_{d} = 5 + 0.2 \times 20 = 9^{\circ} C$ とする。
雲の中でも露点を $100 m$ につき $0. 2^{\circ} C$ で下げてしまう誤り。飽和している間は気温と露点が等しいので、正しくは露点も気温と同じく湿潤断熱減率で下がり、山頂では気温＝露点 $= 5^{\circ} C$ となる。
相対湿度を気温の比 $\frac{T _{d}}{T} \times 100 = \frac{9}{25} \times 100$ や、気温の差から求めてしまう誤り。正しくは飽和水蒸気圧の比 $\frac{e _{s} ( T _{d} )}{e _{s} ( T )} \times 100 = \frac{11.5}{31.7} \times 100 %$ とする。
雲底の高さを気温と露点の差を乾燥断熱減率だけで割って $\frac{8}{1.0} \times 100 = 800 m$ としてしまう誤り。露点も下がるので、正しくは差が縮まる速さ $0. 8^{\circ} C /100 m$ で割って $1000 m$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
標高 $2000 m$ の山頂で、空気塊は雲の中にあって飽和しており、その気温は $6^{\circ} C$ であった。この空気塊が山頂を越えたあと、雲が消えて飽和していない状態のまま、風下側の標高 $0 m$ の地点まで吹き下りた。
飽和していない空気塊が上下するとき、気温は $100 m$ につき $1.0^{\circ} C$ 、露点は $100 m$ につき $0.2^{\circ} C$ の割合で変化する（下降すると、どちらも上がる）ものとする。また、気温と飽和水蒸気圧の関係は次の表のとおりである。
気温〔℃〕 6 10 14 22 26
飽和水蒸気圧〔hPa〕 9.3 12.3 16.0 26.4 33.6
標高 $0 m$ の地点に吹き下りたときの空気塊の相対湿度は何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

気温〔℃〕	6	10	14	22	26
飽和水蒸気圧〔hPa〕	9.3	12.3	16.0	26.4	33.6

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
標高 $0 m$ の地点 A で、気温 $26^{\circ} C$ 、露点 $18^{\circ} C$ の空気塊が山の斜面に沿って上昇し、標高 $3000 m$ の山頂を越えた。その後、反対側の斜面を吹き下りて、標高 $500 m$ の地点 B に達した。
空気塊について、次のように考える。
- 乾燥断熱減率は $1.0^{\circ} C /100 m$ 、湿潤断熱減率は $0.5^{\circ} C /100 m$ とする。
- 空気塊が飽和していないとき、その露点は高度が $100 m$ 上がるごとに $0.2^{\circ} C$ 下がり、 $100 m$ 下がるごとに $0.2^{\circ} C$ 上がる。
- 空気塊は気温が露点に達すると飽和して雲が生じ、その後山頂までは飽和したまま（気温と露点が等しいまま）上昇する。凝結した水はすべて降水として山の風上側で取り除かれ、山頂を越えると空気塊はただちに飽和していない状態で吹き下りる。
- 空気塊は周囲と熱のやりとりをしないものとする。
気温と飽和水蒸気圧の関係は次の表のとおりである。
気温 $[^{\circ} C]$ 6 11 16 18 21 26 31
飽和水蒸気圧 $[hPa]$ 9.3 13.1 18.2 20.6 24.9 33.6 44.9
地点 B に達した空気塊の相対湿度は何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。