溶液の性質の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校化学溶液の性質

硫酸銅(II) 五水和物 $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ の結晶 $125 g$ を $60^{\circ} C$ の水 $175 g$ にすべて溶かした。この水溶液を $60^{\circ} C$ に保ったまま水を $20 g$ 蒸発させたのち、 $20^{\circ} C$ まで冷却したところ、 $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ の結晶が析出した。析出した結晶の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、硫酸銅(II) $CuS O_{4}$ の水に対する溶解度（水 $100 g$ に溶ける無水物 $CuS O_{4}$ の質量 [g]）は $60^{\circ} C$ で $40$ 、 $20^{\circ} C$ で $20$ とする。原子量は $H = 1.0$ , $O = 16$ , $S = 32$ , $Cu = 64$ とし、析出する結晶はすべて $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ で、冷却中に水は蒸発しないものとする。

この問題で使うもの

原子量・分子量・式量（説明と入口の問題）
水和物の溶解と析出（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず水和物 125 g に含まれる CuSO4 と水の質量を求め、溶液全体の溶質と水の量を出しましょう。

ヒント 2

水を 20 g 蒸発させた後の溶液が 60 ℃ で飽和しているかを確かめましょう。析出する結晶は水和水を含むので、溶液から水も取り去られます。

ヒント 3

析出量を $x$ g とすると、残った溶液は CuSO4 が $(80 - 0.64 x)$ g、水が $(200 - 0.36 x)$ g です。これが 20 ℃ の溶解度の比になります。

答えと解説

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70

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式量

$CuS O_{4}$ : $64 + 32 + 16 \times 4 = 160$

$CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ : $160 + 18 \times 5 = 250$

はじめの溶液の組成

$CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ $125 g$ に含まれる $CuS O_{4}$ と水は
$CuS O_{4} : 125 \times \frac{160}{250} = 80 g, H_{2} O : 125 - 80 = 45 g$
よって溶液中の水は $175 + 45 = 220 g$ 、溶質 $CuS O_{4}$ は $80 g$ である。（水 100 g あたり $36.4 g$ で、 $60^{\circ} C$ の溶解度 40 より小さいので、すべて溶ける。）

水を蒸発させた後

水は $220 - 20 = 200 g$ になる。このとき水 100 g あたりの $CuS O_{4}$ は $\frac{80}{200} \times 100 = 40 g$ で、 $60^{\circ} C$ の溶解度とちょうど等しいので、結晶は析出せず飽和溶液になる。

冷却して析出する結晶

析出する $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ を $x g$ とすると、結晶には $CuS O_{4}$ が $\frac{160}{250} x = 0.64 x g$ 、水が $\frac{90}{250} x = 0.36 x g$ 含まれる。結晶水として水も溶液から取り去られることに注意する。

$20^{\circ} C$ で残った溶液は飽和しているので、溶質と溶媒の質量比が溶解度に一致する。
$\frac{80 - 0.64 x}{200 - 0.36 x} = \frac{20}{100}$
$100 (80 - 0.64 x) = 20 (200 - 0.36 x)$
$8000 - 64 x = 4000 - 7.2 x$
$56.8 x = 4000$
$x = 70.4 \dots$
よって析出した結晶は有効数字 2 桁で $70 g$ である。

別解

式量: $CuS O_{4} = 64 + 32 + 16 \times 4 = 160$ 、 $5 H_{2} O = 5 \times 18 = 90$ 、 $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O = 250$ 。
結晶 $125 g$ 中: $CuS O_{4} = 125 \times \frac{160}{250} = 80 g$ 、結晶水 $= 125 - 80 = 45 g$ 。
溶かした後の水: $175 + 45 = 220 g$ 。 $20 g$ 蒸発させて水 $200 g$ 、 $CuS O_{4}$ $80 g$ （ $60^{\circ} C$ の溶解度 $40$ ちょうどの飽和溶液）。
$20^{\circ} C$ まで冷却して析出する $CuS O_{4} \cdot 5 H_{2} O$ を $x g$ とすると、結晶に含まれる $CuS O_{4} = 0.64 x$ 、水 $= 0.36 x$ 。
残った溶液は飽和（溶解度 $20$ ）なので $\frac{80 - 0.64 x}{200 - 0.36 x} = \frac{20}{100}$ 。
$80 - 0.64 x = 40 - 0.072 x$ より $0.568 x = 40$ 、 $x \approx 70.4 g$ 。有効数字 2 桁で $70 g$ 。
検算: $x = 70.4$ で残りの $CuS O_{4} = 80 - 45.1 = 34.9 g$ 、水 $= 200 - 25.4 = 174.6 g$ 、比 $34.9/174.6 \approx 0.20$ で一致。

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