浸透圧による分子量の決定

高分子化合物などの溶液の浸透圧の測定値から $M = \frac{w R T}{Π V}$ の関係を使って溶質のモル質量を求められる

前提

浸透圧（ファントホッフの法則）（高校化学溶液の性質）

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浸透圧（ファントホッフの法則）（高校化学溶液の性質）

説明

溶液の浸透圧を測ると、溶けている物質の分子量（モル質量）を求めることができます。 $Π = C R T$ を逆向きに使い、測った浸透圧から溶質の物質量を割り出して、溶かした質量をその物質量で割ります。とくにタンパク質やデンプンなどの高分子化合物は、分子量が大きく凝固点降下では温度変化が小さすぎて測りにくいため、浸透圧による方法がよく使われます。

なぜそうしてよいのか

非電解質の希薄溶液では、浸透圧は $Π = C R T$ （ $C$ : 溶質のモル濃度 [mol/L]）で表されます。溶質の質量を $w$ [g]、モル質量を $M$ [g/mol]、溶液の体積を $V$ [L] とすると、溶質の物質量は $\frac{w}{M}$ mol、モル濃度は $C = \frac{w}{M V}$ です。これを代入すると
$Π = \frac{w}{M V} R T より M = \frac{w R T}{Π V}$
となります。

つまり、「測った $Π$ から $\frac{Π V}{R T}$ で溶質の物質量を求め、溶かした質量をその物質量で割る」ということです。これは、気体の状態方程式 $p V = \frac{w}{M} R T$ から気体の分子量を求めるのとまったく同じ形をしています。

高分子化合物で浸透圧が使われるのは、物質量がとても小さくても浸透圧は数百 Pa 程度になり、十分に測定できるからです。たとえば濃度 $1 \times 1 0^{- 4}$ mol/L でも、27 °C では $Π = 1 \times 1 0^{- 4} \times 8.3 \times 1 0^{3} \times 300 ≒ 250$ Pa になり、水柱にして約 2.5 cm の高さの差として現れます。

手順

温度を絶対温度に直す: $T = t + 273$
溶液の体積 $V$ を L に直す（ $R = 8.3 \times 1 0^{3}$ Pa·L/(K·mol) を使い、 $Π$ は Pa で）
溶質の物質量を求める: $n = \frac{Π V}{R T}$
モル質量を求める: $M = \frac{w}{n}$ （まとめると $M = \frac{w R T}{Π V}$ ）。指定された有効数字に丸める

例題

あるタンパク質 1.0 g を水に溶かして 100 mL にした水溶液の浸透圧は、27 °C で 415 Pa であった。このタンパク質の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3}$ Pa·L/(K·mol) とし、タンパク質は水中で電離しないものとする。

例題の解答

手順 1: $T = 27 + 273 = 300$ K。

手順 2: $V = 100$ mL $= 0.100$ L。

手順 3: $n = \frac{Π V}{R T} = \frac{415 \times 0.100}{8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300} = \frac{41.5}{2.49 \times 1 0 ^{6}} ≒ 1.67 \times 1 0^{- 5}$ mol。

手順 4: $M = \frac{1.0}{1.67 \times 1 0 ^{- 5}}$ 、まとめた式で計算すると $M = \frac{1.0 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300}{415 \times 0.100} = \frac{2.49 \times 1 0 ^{6}}{41.5} = 6.0 \times 1 0^{4}$ 。有効数字 2 桁で $6.0 \times 1 0^{4}$ 。

答え: $6.0 \times 1 0^{4}$

よくある誤り

体積を mL のまま代入してしまう誤り。例で $M = \frac{1.0 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300}{415 \times 100} = 60$ としてしまう。 $R = 8.3 \times 1 0^{3}$ Pa·L/(K·mol) なので、 $V = 0.100$ L として $6.0 \times 1 0^{4}$ 。
温度をセルシウス温度のまま使う誤り（ $T = 27$ ）。正しくは $T = 27 + 273 = 300$ K。
$Π$ と $R T$ の位置を取り違えて $M = \frac{w Π}{R T V}$ のように変形してしまう誤り。 $Π = \frac{w}{M V} R T$ を $M$ について解くと $M = \frac{w R T}{Π V}$ で、浸透圧が大きいほど（同じ質量なら物質量が多いので）モル質量は小さくなる。
溶液の体積ではなく溶媒（水）の体積や質量を $V$ に使ってしまう誤り。 $Π = C R T$ の $C$ はモル濃度なので、 $V$ は溶液全体の体積（例では 100 mL）を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
あるタンパク質（非電解質とみなす） $2.0 g$ を水に溶かして $200 mL$ の水溶液をつくった。この水溶液の $27^{\circ} C$ における浸透圧は $8.3 \times 1 0^{2} Pa$ であった。このタンパク質の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L / (K \cdot mol)$ とし、この水溶液は希薄溶液としてファントホッフの法則が成り立つものとする。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
あるタンパク質 $0.50 g$ を水に溶かして体積を $100 mL$ にした水溶液をつくり、 $2 7^{\circ} C$ で浸透圧を測定したところ $8.3 \times 1 0^{2} Pa$ であった。このタンパク質のモル質量は何 g/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、タンパク質は水溶液中で電離も会合もしないものとし、浸透圧はファントホッフの法則に従うものとする。気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L / (K \cdot mol)$ とする。

この技能の次に学べること

高分子溶液の浸透圧と数平均分子量（大学化学高分子化学）