平面図形の問題

高さが等しい三角形の面積の比は、底辺の長さの比に等しくなります。

三角形 ABD と三角形 ADC は、底辺をそれぞれ BD、DC とすると高さが等しいので、面積の比は $2:3$ です。よって
$$\text{三角形 ABD}=60\times \frac{2}{5}=24({\text{cm}}^2),\text{三角形 ADC}=60\times \frac{3}{5}=36({\text{cm}}^2)$$
です。

次に、三角形 ABD を線分 BE で分けます。三角形 ABE と三角形 EBD は、底辺をそれぞれ AE、ED とすると高さが等しいので、面積の比は $1:2$ です。よって
$$\text{三角形 EBD}=24\times \frac{2}{3}=16({\text{cm}}^2)$$
です。

同じように、三角形 ADC を線分 CE で分けると、三角形 AEC と三角形 EDC の面積の比も $1:2$ なので、
$$\text{三角形 EDC}=36\times \frac{2}{3}=24({\text{cm}}^2)$$
です。

三角形 EBC は三角形 EBD と三角形 EDC を合わせたものなので、
$$16+24=40({\text{cm}}^2)$$
です。

答え: $40{\text{cm}}^2$

三角形 EBC と三角形 ABC は、どちらも底辺が BC です。面積の比は、高さの比に等しくなります。
A から BC までの高さを 1 とすると、E は AD 上で AE : ED $=1:2$ の位置にあります。AD 全体を 3 とすると、E から D までは 2 です。D は BC 上の点なので、E から BC までの高さは、A から BC までの高さの $\frac{ED}{AD}=\frac{2}{3}$ です。
よって三角形 EBC の面積は、三角形 ABC の $\frac{2}{3}$ で、$60\times \frac{2}{3}=40$ cm² です。
確かめ: 三角形 ABC は三角形 ABD（$\frac{2}{5}$、24 cm²）と三角形 ADC（$\frac{3}{5}$、36 cm²）に分かれる。三角形 EBD は三角形 ABD の $\frac{2}{3}$ で 16 cm²、三角形 EDC は三角形 ADC の $\frac{2}{3}$ で 24 cm²。合わせて $16+24=40$ cm² で一致します。BD : DC の比 $2:3$ は答えに影響しません。