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高分子化学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学化学高分子化学

同じ繰り返し単位からなる直鎖状高分子の試料 A と試料 B がある。試料 A は数平均分子量 $M_{n} = 2.0 \times 1 0^{4}$ 、重量平均分子量 $M_{w} = 3.0 \times 1 0^{4}$ である。試料 B は $M_{n} = 1.0 \times 1 0^{5}$ 、 $M_{w} = 2.5 \times 1 0^{5}$ である。試料 A を $3.0 g$ 、試料 B を $1.0 g$ とって均一に混合した。混合物の分散度 $M_{w} / M_{n}$ を求めよ。答えは分数または小数で正確な値を答えよ。

この問題で使うもの

数平均分子量・重量平均分子量と分散度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（35 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

混合物の $M_{n}$ と $M_{w}$ をそれぞれ別々に求めてから比をとる。 $M_{n}$ は「全質量 ÷ 全分子の物質量」、 $M_{w}$ は質量で重み付けした平均である。

ヒント 2

各試料の分子の物質量は（質量）/（その試料の $M_{n}$ ）で求まる。また混合物の $M_{w}$ は $\frac{\sum ( 試料の質量 ) \times M _{w}}{全質量}$ となる。

ヒント 3

$n_{A} = 1.5 \times 1 0^{- 4} mol$ 、 $n_{B} = 1.0 \times 1 0^{- 5} mol$ なので混合物の $M_{n} = 4.0/ (1.6 \times 1 0^{- 4})$ となる。

答えと解説

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\frac{17}{5}

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解説を読む

分子量 $M_{i}$ の分子の物質量を $n_{i}$ 、質量を $w_{i} = n_{i} M_{i}$ とすると、定義は
$M_{n} = \frac{\sum _{i} n _{i} M _{i}}{\sum _{i} n _{i}} = \frac{\sum _{i} w _{i}}{\sum _{i} n _{i}}, M_{w} = \frac{\sum _{i} n _{i} M _{i}^{2}}{\sum _{i} n _{i} M _{i}} = \frac{\sum _{i} w _{i} M _{i}}{\sum _{i} w _{i}}$
である。

混合物の $M_{n}$ ：各試料に含まれる分子の総物質量は（試料の質量）/（その試料の $M_{n}$ ）で求められる。
$n_{A} = \frac{3.0}{2.0 \times 1 0 ^{4}} = 1.5 \times 1 0^{- 4} mol, n_{B} = \frac{1.0}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = 1.0 \times 1 0^{- 5} mol$
したがって
$M_{n} = \frac{3.0 + 1.0}{1.5 \times 1 0 ^{- 4} + 1.0 \times 1 0 ^{- 5}} = \frac{4.0}{1.6 \times 1 0 ^{- 4}} = 2.5 \times 1 0^{4}$

混合物の $M_{w}$ ：各試料内で $\sum w_{i} M_{i} = (試料の質量) \times M_{w}$ が成り立つので、混合物の $M_{w}$ は各試料の $M_{w}$ を質量で重み付けした平均になる。
$M_{w} = \frac{3.0 \times 3.0 \times 1 0 ^{4} + 1.0 \times 2.5 \times 1 0 ^{5}}{3.0 + 1.0} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{4} + 2.5 \times 1 0 ^{5}}{4.0} = 8.5 \times 1 0^{4}$

分散度：
$\frac{M _{w}}{M _{n}} = \frac{8.5 \times 1 0 ^{4}}{2.5 \times 1 0 ^{4}} = \frac{17}{5} = 3.4$

各試料の分散度（A は 1.5、B は 2.5）よりも大きくなるのは、分子量の大きく異なる試料を混ぜたことで分布が広がったためである。

別解

混合物について、Mn = 全質量 / 全物質量、Mw = 質量分率で重み付けした Mw の平均、で求める。

物質量: 試料 A は n_A = 3.0 / (2.0×10^4) = 1.5×10^-4 mol、試料 B は n_B = 1.0 / (1.0×10^5) = 1.0×10^-5 mol。
合計は 1.6×10^-4 mol。

混合物の Mn = 4.0 g / (1.6×10^-4 mol) = 2.5×10^4。

混合物の Mw = (w_A·Mw,A + w_B·Mw,B) / (w_A + w_B) = (3.0×3.0×10^4 + 1.0×2.5×10^5) / 4.0 = (9.0×10^4 + 25×10^4) / 4.0 = 34×10^4 / 4.0 = 8.5×10^4。

分散度 = Mw/Mn = 8.5×10^4 / 2.5×10^4 = 3.4 = 17/5。

検算: Mw = Σ w_i M_i（w_i は質量分率）なので、各試料の Mw に質量分率を掛けて足せばよい。質量分率は 0.75 と 0.25 なので、0.75×3.0×10^4 + 0.25×25×10^4 = 2.25×10^4 + 6.25×10^4 = 8.5×10^4 となり、一致する。

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