高分子化学の問題

同じ繰り返し単位からなる直鎖状高分子の試料 A と試料 B がある。試料 A は数平均分子量 $M_n=2.0\times 10^4$、重量平均分子量 $M_w=3.0\times 10^4$ である。試料 B は $M_n=1.0\times 10^5$、$M_w=2.5\times 10^5$ である。試料 A を $3.0\mathrm{g}$、試料 B を $1.0\mathrm{g}$ とって均一に混合した。混合物の分散度 $M_w/M_n$ を求めよ。答えは分数または小数で正確な値を答えよ。

ある理想的なリビングアニオン重合で得られた高分子では、1 本の鎖の重合度 $X$ が、$X=1+Y$（$Y$ は平均 $\nu =49$ のポアソン分布
$$P(Y=k)=\frac{{\nu }^k{e}^{-\nu }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従う確率変数）で表される。ここで $P$ は鎖の本数の割合（数分布）を表す。

数平均重合度を ${\bar{X}}_n=⟨X⟩$、重量平均重合度を ${\bar{X}}_w=\frac{⟨X^2⟩}{⟨X⟩}$ とするとき、分散度 ${\bar{X}}_w/{\bar{X}}_n$ を既約分数で求めよ。ただし、ポアソン分布の平均と分散がともに $\nu$ であることを用いてよい。

等モルの A–B 型単量体の線状逐次重合で、官能基 A の反応度が $p=0.90$ になった。反応系中の分子（未反応の単量体を含む）の分布は最確分布（フローリー分布）に従い、$x$ 量体の数分率は $(1-p)p^{x-1}$ で表されるものとする。このとき、全分子のうち 3 量体（$x=3$）が占める数分率を、正確な値（小数または分数）で求めよ。

ある高分子をトルエンに溶かし、温度 $T=300\mathrm{K}$ で浸透圧 $\Pi$ を測定したところ、次の結果を得た。ここで $c$ は高分子の質量濃度である。

この濃度範囲では、浸透圧は
$$\frac{\Pi }{c}=RT\left(\frac{1}{M_n}+A_{2}c\right)$$
に従う（3 次以上の項は無視できる）とする。気体定数を $R=8.31\mathrm{J}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ として、この高分子の数平均分子量 $M_n$ は何 $g/mol$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

モノマー ${\mathrm{M}}_1$ と ${\mathrm{M}}_2$ のラジカル共重合を末端モデルで考える。${\mathrm{M}}_1$ のモノマー反応性比は $r_1=1.5$ で、モノマー濃度の比は $[{\mathrm{M}}_1]:[{\mathrm{M}}_2]=1:2$ で一定とみなす。

成長末端が ${\mathrm{M}}_1$ のとき、次に ${\mathrm{M}}_1$ が付加する確率は
$$p_{11}=\frac{r_1[{\mathrm{M}}_1]}{r_1[{\mathrm{M}}_1]+[{\mathrm{M}}_2]}$$
である。生成する共重合体中で ${\mathrm{M}}_1$ 単位が連続して並ぶ部分（両側を ${\mathrm{M}}_2$ 単位にはさまれた ${\mathrm{M}}_1$ 連鎖）の数平均連鎖長を既約分数で求めよ。