高分子化学の問題

ジカルボン酸 $0.490\mathrm{mol}$ とジアミン $0.500\mathrm{mol}$ を仕込んで縮合重合を行い、ポリアミドを合成した。カルボキシ基を A、アミノ基を B とし、官能基のモル比を $r=\frac{N_{\mathrm{A}}}{N_{\mathrm{B}}}$（$N_{\mathrm{A}},N_{\mathrm{B}}$ は仕込んだ A, B の物質量）とする。少ないほうの官能基 A の反応度が $p=0.990$ になったとき、数平均重合度（1 本の鎖に含まれる単量体由来の構造単位の数の平均）は
$${\bar{X}}_n=\frac{1+r}{1+r-2rp}$$
で表される。このときの ${\bar{X}}_n$ を求めよ。

モノマー ${\mathrm{M}}_1$ と ${\mathrm{M}}_2$ を、${\mathrm{M}}_1$ のモル分率 $f_1^0=0.50$ で反応容器に仕込み、途中でモノマーを追加せずに（回分式で）共重合させた。モノマー全体の転化率（重合体になったモノマーの物質量の、仕込んだモノマー全体の物質量に対する割合）が $X=0.60$ になった時点で、残っているモノマー中の ${\mathrm{M}}_1$ のモル分率は $f_1=0.30$ であった。

この時点までに生成した共重合体全体に含まれる ${\mathrm{M}}_1$ 単位の平均モル分率 ${\bar{F}}_1$ を既約分数で求めよ。

ある高分子試料は、分子量 $1.0\times 10^4$ の分子と分子量 $5.0\times 10^4$ の分子の 2 種類だけからなり、分子の本数の比は $3:1$ である。

数平均分子量を $M_n=\frac{\sum N_i{M}_i}{\sum N_i}$、重量平均分子量を $M_w=\frac{\sum N_i{M}_i^2}{\sum N_i{M}_i}$（$N_i$ は分子量 $M_i$ の分子の本数）とするとき、この試料の分散度 $M_w/M_n$ を既約分数で求めよ。

ある理想的なリビングアニオン重合で得られた高分子では、1 本の鎖の重合度 $X$ が、$X=1+Y$（$Y$ は平均 $\nu =49$ のポアソン分布
$$P(Y=k)=\frac{{\nu }^k{e}^{-\nu }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従う確率変数）で表される。ここで $P$ は鎖の本数の割合（数分布）を表す。

数平均重合度を ${\bar{X}}_n=⟨X⟩$、重量平均重合度を ${\bar{X}}_w=\frac{⟨X^2⟩}{⟨X⟩}$ とするとき、分散度 ${\bar{X}}_w/{\bar{X}}_n$ を既約分数で求めよ。ただし、ポアソン分布の平均と分散がともに $\nu$ であることを用いてよい。

ジカルボン酸 $\mathrm{HOOC}-\mathrm{R}-\mathrm{COOH}$ とジオール $\mathrm{HO}-{\mathrm{R}}^{\prime }-\mathrm{OH}$ を物質量の比 $1:1$ で仕込み、ポリエステルを合成する。官能基の反応度（反応した官能基の割合）を $p$ とすると、数平均重合度（1 本の鎖に含まれる単量体由来の構造単位の数の平均）${\bar{X}}_n$ はカロザースの式
$${\bar{X}}_n=\frac{1}{1-p}$$
で表される。${\bar{X}}_n=160$ の重合体を得るのに必要な反応度 $p$ を既約分数で求めよ。