平面図形の問題
三角形 ABC があります。辺 BC 上に点 D があり、BD の長さは 4 cm、DC の長さは 6 cm です（点 D は点 B と点 C のあいだにあります）。頂点 A と点 D を直線で結ぶと、三角形 ABC は三角形 ABD と三角形 ADC の 2 つに分かれます。三角形 ABD の面積が 18 cm² のとき、三角形 ADC の面積は何 cm² ですか。
この問題で使うもの
- 高さが等しい三角形の面積の比（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（11 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
技能「高さが等しい三角形の面積の比」を使います。三角形 ABD と三角形 ADC は、どちらも頂点 A から辺 BC にひいた垂線が高さになっています。
ヒント 2
高さが等しい三角形では、面積の比は底辺の長さの比 BD : DC と等しくなります。BD : DC をいちばん簡単な整数の比になおしてみましょう。
ヒント 3
BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3 なので、三角形 ABD と三角形 ADC の面積の比も 2 : 3 です。18 cm² が比の 2 にあたることから、比の 1 にあたる面積を求めましょう。
答えと解説
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解説を読む
三角形 ABD と三角形 ADC は、底辺をそれぞれ BD、DC とみると、どちらも頂点 A から直線 BC にひいた垂線の長さが高さになります。つまり、2 つの三角形は高さが等しい三角形です。
高さが等しい三角形では、面積の比は底辺の長さの比と等しくなります。底辺の長さの比は
なので、
です。
三角形 ABD の面積 18 cm² が比の 2 にあたるので、比の 1 にあたる面積は
です。三角形 ADC の面積は比の 3 にあたるので、
となります。
答えは 27 cm² です。
別解
三角形 ABD と三角形 ADC は、頂点 A から辺 BC までの高さが同じです。そのため、面積の比は底辺 BD と DC の長さの比に等しくなります。BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3 なので、面積の比も 2 : 3 です。三角形 ABD の面積が 18 cm² で、これが比の 2 にあたるので、比の 1 は 18 ÷ 2 = 9 cm² です。三角形 ADC は比の 3 なので、9 × 3 = 27 cm² です。検算として、三角形 ABD の面積から高さを求めると 18 × 2 ÷ 4 = 9 cm です。三角形 ADC の面積は 6 × 9 ÷ 2 = 27 cm² となり、一致します。