有機化学の問題

立体要素の確認

炭素を左から $C1$〜$C8$ と番号づける。

• 二重結合 $C2=C3$ と $C6=C7$ は、どちらも両端の炭素に異なる 2 つの置換基（$\mathrm{H}$ と炭素鎖）が結合している。したがって、それぞれ $E$ または $Z$ の幾何配置をとる。
• $C4$ には $\mathrm{H}$、$\mathrm{OH}$、$\mathrm{CH}=\mathrm{CHC}{\mathrm{H}}_3$、$\mathrm{CH}(\mathrm{OH})\mathrm{CH}=\mathrm{CHC}{\mathrm{H}}_3$ の 4 つの異なる基が結合しているので、不斉中心である。$C5$ も同様である。不斉中心は $2$ 個ある。

立体要素は全部で 4 個あるので、立体配置の記号の組 $(C2=C3,C4,C5,C6=C7)$ は $2^4=16$ 通り書ける。

ただし、この分子は左右対称な骨格をもつ。左右を入れかえて番号をつけ直すと、組 $(d_1,c_4,c_5,d_2)$ は $(d_2,c_5,c_4,d_1)$ と同じ化合物を表す。そのため、16 通りがすべて異なる化合物になるわけではない。二重結合の配置で場合分けして数える。

(i) 両方の二重結合が $E$ の場合 $(E,E)$

両端の基 $\mathrm{CH}=\mathrm{CHC}{\mathrm{H}}_3$ はどちらも $E$ 形で同一である。したがって、酒石酸と同じ型（同一の置換をもつ不斉中心 2 個）になる。
- $(4R,5R)$ と $(4S,5S)$ は互いに鏡像異性体で、どちらもキラルである。
- $(4R,5S)$ は分子内に対称面（または対称心）をもつ。$(4S,5R)$ はこれと同一の化合物で、アキラルなメソ体である。

よって $3$ 種類。

(ii) 両方の二重結合が $Z$ の場合 $(Z,Z)$

(i) と同様に、鏡像異性体の対 1 組とメソ体 1 種類で、$3$ 種類。

(iii) 一方が $E$、他方が $Z$ の場合

$(E,Z)$ と $(Z,E)$ は、番号のつけ方が逆なだけで同じ骨格である。この場合、$C4$ 側と $C5$ 側の置換基が異なる（一方が $E$ 形、他方が $Z$ 形）ので、分子に対称性はない。$C4$ と $C5$ はそれぞれ独立に $R/S$ をとる。$2\times 2=4$ 種類の立体異性体ができ、どれもメソ体にならない。この 4 種類は鏡像異性体の対 2 組である。

よって $4$ 種類。

合計
$$3+3+4=10$$

（確認）番号のつけ直しで変わらない組は、$d_1=d_2$ かつ $c_4=c_5$ のものである。これは $2\times 2=4$ 通りある。重複を除いた数は $\frac{16+4}{2}=10$ となり、一致する。このうちメソ体は $(E,E)$ と $(Z,Z)$ のそれぞれ 1 種類ずつ、計 2 種類である。残りの 8 種類は、鏡像異性体の対 4 組をなす光学活性体である。

答え：$10$ 種類

この分子は構造が左右対称で、立体化学の要素は C=C が 2 つ（各 E/Z）と不斉炭素 C4, C5（各 R/S）の合計 4 つである。

(1) 二重結合の組み合わせは、EE、ZZ、EZ（左右を入れ替えると同じ分子）の 3 通りである。

(2) EE と ZZ の場合は分子が左右対称になる。C4, C5 の組は (R,R)、(S,S)、(R,S)（(S,R) と同一で、メソ体）の 3 通りである。したがって 3×2 = 6 種類。

(3) EZ の場合は左右が区別される。C4, C5 の組は (R,R)、(S,S)、(R,S)、(S,R) の 4 通りがすべて異なる。したがって 4 種類。

合計は 6 + 4 = 10 種類である。

検算（ burnside の補題）: 全配置は 2^4 = 16 通り。左右の入れ替えで不変な配置は L=R かつ C4=C5 の場合で 4 通りなので、(16+4)/2 = 10 となり、一致する。

なお、このうち EE と ZZ の (R,R)/(S,S) は鏡像異性体の対（各 2 組）、EZ の (R,R)/(S,S) と (R,S)/(S,R) も鏡像異性体の対で、数え方に矛盾はない。