アルゴリズムと計算量の問題

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $2n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=3,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+2n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で求めよ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の 3 つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、0 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき
$$T(1)=1,T(n)=3T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\ge 2)$$
を満たすとする。0 以上の整数 $k$ に対して、$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $4$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n^2$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき
$$T(1)=2,T(n)=4T\left(\frac{n}{2}\right)+n^2(n\ge 2)$$
を満たす。$n=2^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）のときの $T(n)$ を、$n$ の式で表せ。対数を使う場合は ${\log }_{2}n$ を用いてよい。

ある分割統治アルゴリズムは、サイズ $n$ の問題をサイズ $\frac{n}{4}$ の部分問題 $8$ 個に分けて再帰的に解き、分割と結果の統合に $n^{3/2}$ の時間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$n=4^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）のとき次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=8T\left(\frac{n}{4}\right)+n^{3/2}(n\geqq 4)$$
マスター定理を用いて $T(n)=\Theta (g(n))$ となる $g(n)$ を求めよ。ただし $g(n)$ は $\Theta$ の中身の式として、係数 $1$ の単項式（例: $n^3$, $n\log n$）で答えること。