アルゴリズムと計算量の問題

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $2n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=3,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+2n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で求めよ。

ある分割統治アルゴリズム（マージソートの型）は、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で求めよ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の問題を大きさ $\frac{n}{9}$ の部分問題 $27$ 個に分け、分割と統合に $n\sqrt{n}$ の時間をかける。$0$ 以上の整数 $k$ を用いて $n=9^k$ と表される $n$ に対して、計算時間 $T(n)$ は次の漸化式で与えられる。$$T(1)=1,T(n)=27T\left(\frac{n}{9}\right)+n\sqrt{n}(n\geqq 9)$$$T(n)=\Theta (g(n))$ となる関数 $g(n)$ を求め、$\Theta$ の中身の式 $g(n)$ を $n$ の式で答えよ。ただし、$g(n)$ は係数を $1$ とした最も簡単な形で答え、対数が現れる場合は自然対数 $\log n$ を用いて書くこと。

$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=5^k$ とする。ある分割統治アルゴリズムの計算時間 $T(n)$ が、次の漸化式で与えられている。
$$T(1)=1,T(n)=25T\left(\frac{n}{5}\right)+n^2(n\geqq 5)$$
マスター定理を用いて $T(n)=\Theta (g(n))$ となる $g(n)$ を求めよ。ただし、答えは $\Theta$ の中身の式（例: $n\log n$）を、定数倍を除いた最も簡単な形で答えよ。対数は自然対数 $\log$ を用いて表すこと。