アルゴリズムと計算量の問題

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の問題を大きさ $\frac{n}{9}$ の部分問題 $27$ 個に分け、分割と統合に $n\sqrt{n}$ の時間をかける。$0$ 以上の整数 $k$ を用いて $n=9^k$ と表される $n$ に対して、計算時間 $T(n)$ は次の漸化式で与えられる。$$T(1)=1,T(n)=27T\left(\frac{n}{9}\right)+n\sqrt{n}(n\geqq 9)$$$T(n)=\Theta (g(n))$ となる関数 $g(n)$ を求め、$\Theta$ の中身の式 $g(n)$ を $n$ の式で答えよ。ただし、$g(n)$ は係数を $1$ とした最も簡単な形で答え、対数が現れる場合は自然対数 $\log n$ を用いて書くこと。

ある分割統治アルゴリズムは、サイズ $n$ の問題をサイズ $\frac{n}{4}$ の部分問題 $8$ 個に分けて再帰的に解き、分割と結果の統合に $n^{3/2}$ の時間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$n=4^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）のとき次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=8T\left(\frac{n}{4}\right)+n^{3/2}(n\geqq 4)$$
マスター定理を用いて $T(n)=\Theta (g(n))$ となる $g(n)$ を求めよ。ただし $g(n)$ は $\Theta$ の中身の式として、係数 $1$ の単項式（例: $n^3$, $n\log n$）で答えること。

ある分割統治アルゴリズムの計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=4T\left(\frac{n}{2}\right)+\frac{n^2}{{\log }_{2}n}(n\ge 2)$$
$n=2^k$ の形の $n$ に限って $n\to \infty$ を考えるとき、$T(n)=\Theta (g(n))$ となる関数 $g(n)$ を求めよ。答えは $\Theta$ の中身の式（定数倍を除いた最も簡単な形。例：$n\log n$）で答えよ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で表せ。

ある分割統治アルゴリズム（マージソートの型）は、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき、次の漸化式で与えられる。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+n(n\geqq 2)$$
$T(2^k)$ を $k$ の式で求めよ。