暗号理論の問題

有限体 ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+3x+2$$
を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点全体は、無限遠点 $O$ を単位元とし、通常の加法（弦と接線による加法）で群をなす。$E$ 上の 2 点 $P=(2,4)$、$Q=(7,5)$ について、$P+Q=(x_3,y_3)$ とする。ただし $x_3,y_3$ は $0$ 以上 $10$ 以下の整数で表す。組 $(x_3,y_3)$ を求めよ。

有限体 ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+2x+7$$
を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点全体は、無限遠点 $O$ を単位元とし、通常の加法（弦と接線による加法）で群をなす。

$E$ 上の 2 点 $P=(6,2)$, $Q=(10,9)$ について、和 $P+Q$ の座標 $(x_3,y_3)$ を求めよ。ただし、$x_3,y_3$ は $0$ 以上 $10$ 以下の整数で表すこと。

有限体 ${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+x+3$$
を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点全体は、無限遠点 $O$ を単位元とし、通常の加法（弦と接線による加法）で群をなす。$E$ 上の点 $P=(4,1)$ について、点 $2027P$ の座標 $(x,y)$ を求めよ。ただし、座標は $0$ 以上 $6$ 以下の整数で表し、$(x,y)$ の順に答えること。

有限体 ${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+3x+1$$
を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点全体は、無限遠点 $O$ を単位元とし、通常の加法（弦と接線による加法）で群をなす。$E$ 上の点 $P=(5,1)$ について、$2P,3P$ を順に計算して $P$ の位数を求め、それを使って $1000P$ の座標 $(x,y)$ を求めよ。ただし、座標は $0$ 以上 $6$ 以下の整数で答えよ。

有限体 ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+x+3$$
を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点全体は、無限遠点 $O$ を単位元とし、通常の加法（弦と接線による加法）で群をなす。

点 $P=(0,5)$ は $E$ 上の点である。$P$ の位数を求めたうえで、スカラー倍 $2027P$ を求めよ。答えは座標の組 $(x,y)$ で書き、$x,y$ は $0$ 以上 $10$ 以下の整数で表せ。