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暗号理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学暗号理論

英字 $26$ 文字を $A = 0, B = 1, \dots, Z = 25$ と数に対応させる。長さ $3$ の鍵語の文字を表す数を $k_{0}, k_{1}, k_{2}$ （それぞれ $0$ 以上 $25$ 以下の整数）とし、平文の $i$ 文字目（ $i = 0, 1, 2, \dots$ ）を表す数 $m_{i}$ を
$c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26), 0 \leq c_{i} \leq 25$
で定まる $c_{i}$ の文字に置き換えるヴィジュネル暗号を考える。

平文 $SECRET$ をこの方法で暗号化したところ、暗号文は $CIABIR$ になった。組 $(k_{0}, k_{1}, k_{2})$ を求めよ。

この問題で使うもの

ヴィジュネル暗号（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ヴィジュネル暗号の暗号化の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を、鍵 $k$ について解くことを考えよう。

ヒント 2

$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$ なので、先頭 $3$ 文字それぞれで「暗号文の数 − 平文の数」を計算し、負になったら $26$ を足す。

ヒント 3

平文 $S, E, C = 18, 4, 2$ 、暗号文 $C, I, A = 2, 8, 0$ より、 $k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 (mod 26)$ である。これを $0$ 以上 $25$ 以下に直し、 $k_{1}, k_{2}$ も同様に求めよう。

答えと解説

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(10, 4, 24)

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解説を読む

暗号化の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を鍵について解くと
$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$
となる。したがって、平文と暗号文の先頭 $3$ 文字を比べれば鍵が求まる。

文字を数に直すと、平文 $S, E, C$ は $18, 4, 2$ 、暗号文 $C, I, A$ は $2, 8, 0$ である。

$i = 0$ ： $k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 \equiv - 16 + 26 = 10 (mod 26)$
$i = 1$ ： $k_{1} \equiv 8 - 4 = 4 (mod 26)$
$i = 2$ ： $k_{2} \equiv 0 - 2 = - 2 \equiv - 2 + 26 = 24 (mod 26)$

$0$ 以上 $25$ 以下の整数で表すと $k_{0} = 10, k_{1} = 4, k_{2} = 24$ である（鍵語は $KEY$ ）。

確認：残りの $3$ 文字 $R, E, T = 17, 4, 19$ に同じ鍵を使うと
$17 + 10 = 27 \equiv 1 (B)$ 、 $4 + 4 = 8 (I)$ 、 $19 + 24 = 43 \equiv 17 (R)$ となり、暗号文の後半 $BIR$ と一致する。

よって $(k_{0}, k_{1}, k_{2}) = (10, 4, 24)$ 。

別解

平文 SECRET の各文字を数にすると S=18, E=4, C=2, R=17, E=4, T=19 である。暗号文 CIABIR は C=2, I=8, A=0, B=1, I=8, R=17 である。
$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$ より、
- $k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 \equiv 10$
- $k_{1} \equiv 8 - 4 = 4$
- $k_{2} \equiv 0 - 2 = - 2 \equiv 24$
- $i = 3$ : $k_{0} \equiv 1 - 17 = - 16 \equiv 10$ （ $k_{0}$ と一致）
- $i = 4$ : $k_{1} \equiv 8 - 4 = 4$ （一致）
- $i = 5$ : $k_{2} \equiv 17 - 19 = - 2 \equiv 24$ （一致）

よって $(k_{0}, k_{1}, k_{2}) = (10, 4, 24)$ 、鍵語は KEY である。検算として、S+10=28≡2 (C)、E+4=8 (I)、C+24=26≡0 (A)、R+10=27≡1 (B)、E+4=8 (I)、T+24=43≡17 (R) となり、暗号文と一致する。

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