暗号理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学暗号理論

英字 $26$ 文字を $A = 0, B = 1, \dots, Z = 25$ と数に対応させる。長さ $3$ の鍵 $(k_{0}, k_{1}, k_{2})$ （各 $k_{j}$ は $0 \leq k_{j} \leq 25$ の整数）を使うヴィジュネル暗号では、平文の $i$ 文字目（ $i = 0, 1, 2, \dots$ ）に対応する数 $m_{i}$ を
$c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26), 0 \leq c_{i} \leq 25$
を満たす $c_{i}$ に変えて暗号文を作る。

ある平文の最初の $3$ 文字は $CAT$ であり、それを暗号化した暗号文の最初の $3$ 文字は $UUG$ であった。鍵 $(k_{0}, k_{1}, k_{2})$ を数の組で求めよ。

この問題で使うもの

ヴィジュネル暗号（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ヴィジュネル暗号の暗号化の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を、鍵 $k$ について解くことを考えよう。

ヒント 2

$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$ を使う。差が負になったら $26$ を加えて $0$ 以上 $25$ 以下にする。

ヒント 3

文字を数に直すと平文は $2, 0, 19$ 、暗号文は $20, 20, 6$ 。よって $k_{0} \equiv 20 - 2$ 、 $k_{1} \equiv 20 - 0$ 、 $k_{2} \equiv 6 - 19 (mod 26)$ を計算すればよい。

答えと解説

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(18, 20, 13)

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解説を読む

ヴィジュネル暗号の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を鍵について解くと
$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$
となる。 $i = 0, 1, 2$ では $i mod 3 = i$ なので、 $k_{0}, k_{1}, k_{2}$ はそれぞれ $0, 1, 2$ 文字目から決まる。

まず文字を数に直す。平文 $CAT$ は $C = 2, A = 0, T = 19$ 、暗号文 $UUG$ は $U = 20, U = 20, G = 6$ である。

$i = 0$ : $k_{0} \equiv 20 - 2 = 18 (mod 26)$ より $k_{0} = 18$ 。

$i = 1$ : $k_{1} \equiv 20 - 0 = 20 (mod 26)$ より $k_{1} = 20$ 。

$i = 2$ : $k_{2} \equiv 6 - 19 = - 13 (mod 26)$ 。 $0 \leq k_{2} \leq 25$ にするため $26$ を加えて $- 13 + 26 = 13$ より $k_{2} = 13$ 。

確かめ: $2 + 18 = 20 (U)$ 、 $0 + 20 = 20 (U)$ 、 $19 + 13 = 32 \equiv 6 (mod 26) (G)$ となり、暗号文と一致する。

よって鍵は $(k_{0}, k_{1}, k_{2}) = (18, 20, 13)$ である（鍵語で書くと $SUN$ ）。

別解

C=2, A=0, T=19 であり、U=20, G=6 である。
$k_{0} \equiv 20 - 2 = 18 (mod 26)$
$k_{1} \equiv 20 - 0 = 20 (mod 26)$
$k_{2} \equiv 6 - 19 = - 13 \equiv 13 (mod 26)$
よって鍵は $(18, 20, 13)$ である。
検算： $2 + 18 = 20$ （U）、 $0 + 20 = 20$ （U）、 $19 + 13 = 32 \equiv 6$ （G）となり、暗号文 UUG と一致する。

この問題の確認

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