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暗号理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学暗号理論

英字 $26$ 文字を $A = 0, B = 1, \dots, Z = 25$ と数に対応させる。長さ $3$ の鍵語を数の列 $k_{0}, k_{1}, k_{2}$ （各 $k_{j}$ は $0 \leq k_{j} \leq 25$ の整数）で表す。平文の $i$ 文字目（ $i = 0, 1, 2, \dots$ ）に対応する数を $m_{i}$ とし、暗号文の $i$ 文字目に対応する数 $c_{i}$ を
$c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26), 0 \leq c_{i} \leq 25$
で定める（ヴィジュネル暗号）。

ある平文をこの方法で暗号化したところ、暗号文は $CIABIR$ であった。また、平文の最初の $3$ 文字は $SEC$ であることがわかっている。鍵 $(k_{0}, k_{1}, k_{2})$ を求めよ。

この問題で使うもの

ヴィジュネル暗号（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ヴィジュネル暗号の暗号化の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を、鍵 $k$ について解くことを考えよう。

ヒント 2

$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$ であり、 $i = 0, 1, 2$ のとき $i mod 3$ はそれぞれ $0, 1, 2$ なので、最初の $3$ 文字から鍵の $3$ つの数が求まる。負になったら $26$ を足す。

ヒント 3

$m_{0} = 18, m_{1} = 4, m_{2} = 2$ 、 $c_{0} = 2, c_{1} = 8, c_{2} = 0$ なので、 $k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 (mod 26)$ となる。

答えと解説

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(10, 4, 24)

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解説を読む

暗号化の式 $c_{i} \equiv m_{i} + k_{i mod 3} (mod 26)$ を鍵について解くと
$k_{i mod 3} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$
となる。平文と暗号文の最初の $3$ 文字（ $i = 0, 1, 2$ ）を使えば、 $k_{0}, k_{1}, k_{2}$ がそれぞれ $1$ つずつ求まる。

文字を数に直すと、平文 $S, E, C$ は $m_{0} = 18, m_{1} = 4, m_{2} = 2$ 、暗号文 $C, I, A$ は $c_{0} = 2, c_{1} = 8, c_{2} = 0$ である。

$i = 0$ : $k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 \equiv - 16 + 26 = 10 (mod 26)$
$i = 1$ : $k_{1} \equiv 8 - 4 = 4 (mod 26)$
$i = 2$ : $k_{2} \equiv 0 - 2 = - 2 \equiv - 2 + 26 = 24 (mod 26)$

$0 \leq k_{j} \leq 25$ なので $k_{0} = 10, k_{1} = 4, k_{2} = 24$ であり、鍵語は $KEY$ である。

確認として、残りの暗号文 $BIR$ （ $c_{3} = 1, c_{4} = 8, c_{5} = 17$ ）を復号すると $m_{3} \equiv 1 - 10 = - 9 \equiv 17$ （ $R$ ）、 $m_{4} \equiv 8 - 4 = 4$ （ $E$ ）、 $m_{5} \equiv 17 - 24 = - 7 \equiv 19$ （ $T$ ）となり、平文は $SECRET$ という意味のある語になる。

よって $(k_{0}, k_{1}, k_{2}) = (10, 4, 24)$ 。

別解

文字を A=0, …, Z=25 に対応させる。暗号文 CIABIR の最初の 3 文字 C, I, A は C=2, I=8, A=0 である。平文の最初の 3 文字 SEC は S=18, E=4, C=2 である。

$k_{i} \equiv c_{i} - m_{i} (mod 26)$ より、
$k_{0} \equiv 2 - 18 = - 16 \equiv 10$
$k_{1} \equiv 8 - 4 = 4$
$k_{2} \equiv 0 - 2 = - 2 \equiv 24$

よって $(k_{0}, k_{1}, k_{2}) = (10, 4, 24)$ （文字では KEY）である。

検算： $18 + 10 = 28 \equiv 2$ （C）、 $4 + 4 = 8$ （I）、 $2 + 24 = 26 \equiv 0$ （A）となり、暗号文と一致する。

後半 3 文字は B, I, R で、それぞれ 1, 8, 17 である。鍵を用いて復号すると $1 - 10 = - 9 \equiv 17$ （R）、 $8 - 4 = 4$ （E）、 $17 - 24 = - 7 \equiv 19$ （T）となり、平文は SECRET と読める。

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