暗号理論の問題

素数 $p=43$ と、法 $43$ の原始根 $g=3$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の秘密鍵は $x=5$ であり、公開鍵 $h\equiv g^x(\mathrm{mod}43)$ を公開している。送信者は平文 $m$（$1\le m\le 42$ の整数）を、ある整数 $k$ を用いて
$$c_1\equiv g^k,c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}43)(0\le c_1,c_2\le 42)$$
と暗号化し、暗号文 $(c_1,c_2)=(38,22)$ を受信者に送った。受信者が秘密鍵 $x=5$ を用いて復号して得る平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=31$ と、法 $31$ の原始根 $g=3$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者は秘密鍵 $x=7$ を選び、公開鍵 $h\equiv g^x(\mathrm{mod}31)$（$0\le h\le 30$）を公開している。

送信者は平文 $m$（$1\le m\le 30$ の整数）を、整数 $k$ を選んで
$$c_1\equiv g^k,c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}31)$$
により暗号文 $(c_1,c_2)$ に変換して送る。受信者が受け取った暗号文が $(c_1,c_2)=(19,22)$ であるとき、平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=47$ と、法 $47$ の原始根 $g=5$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の秘密鍵は $x=6$ である。受信者は、ある平文 $m$（$1\le m\le 46$ の整数）を暗号化した暗号文
$$(c_1,c_2)=(31,40)$$
を受け取った。ただし、送信者は秘密の整数 $k$ を選び、$c_1\equiv g^k$, $c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}47)$（$h\equiv g^x(\mathrm{mod}47)$ は受信者の公開鍵）として暗号文を作ったものとする。復号の式 $m\equiv c_2(c_1^x{)}^{-1}(\mathrm{mod}47)$ を用いて、平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=101$ と法 $101$ の原始根 $g$ を用いるエルガマル暗号を考える。受信者の秘密鍵を $a$、公開鍵を $h\equiv g^a(\mathrm{mod}p)$ とする。平文 $m$（$1\le m\le 100$ の整数）は、送信者が整数 $k$（$1\le k\le 99$）を選び
$$c_1\equiv g^k,c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}p)(0\le c_1,c_2\le 100)$$
として暗号文 $(c_1,c_2)$ に暗号化される。

送信者は、誤って同じ $k$ を使い回して 2 つの平文 $m_1,m_2$ を暗号化し、暗号文 $(14,19)$ と $(14,45)$ をこの順に送った。盗聴者は $1$ つ目の平文が $m_1=20$ であることを知っている。$2$ つ目の平文 $m_2$ を求めよ。

素数 $p=89$ と、法 $89$ の原始根 $g=3$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の公開鍵は $h=42$ である（秘密鍵 $x$ は $h\equiv g^x(\mathrm{mod}89)$ を満たす。$x$ は公開されていない）。

平文 $m$（$1\le m\le 88$ の整数）を暗号化するとき、送信者は整数 $k$ を選び、
$$c_1\equiv g^k(\mathrm{mod}89),c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}89)(0\le c_1,c_2\le 88)$$
として暗号文 $(c_1,c_2)$ を送る。

ある送信者が、本来は毎回選び直すべき $k$ を使い回して、2 つの平文 $m_1,m_2$ を同じ $k$ で暗号化した。得られた暗号文は
$$m_1\text{の暗号文}:(51,11),m_2\text{の暗号文}:(51,7)$$
である。攻撃者は何らかの方法で $m_1=20$ であることを知った。秘密鍵 $x$ を求めずに、平文 $m_2$（$1\le m_2\le 88$ の整数）を求めよ。