無機化学・錯体化学の問題

正八面体の頂点の配置を、回転で重なるものを同一とみなして列挙する。$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$ を A、$\mathrm{Cl}$ を B と書くと、この錯体は $\mathrm{M}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3$ 型である。

手順 1: 頂点の関係を整理する。 正八面体の 6 個の頂点は、互いに向かい合う（中心をはさんで反対側の、trans の位置の）3 組に分かれる。2 つの頂点は「trans（向かい合う）」か「cis（となり合う）」のどちらかである。

手順 2: 3 個の B の置き方で分類する。 3 個の B のうち、trans の位置にある組があるかどうかで分ける。
- trans の組がない場合: 3 個の B はどの 2 個もとなり合い、正八面体の 1 つの面（正三角形）の 3 頂点を占める。これを fac 形という。どの面を選んでも回転で重なるので 1 種類。
- trans の組がある場合: 2 個の B が向かい合い、残り 1 個の B は残る 4 頂点（どれもその 2 個とはとなり合う）のどれかにある。この 4 頂点は、向かい合う 2 個の B を結ぶ軸のまわりの回転で互いに重なるので 1 種類。3 個の B は中心を通る 1 つの平面（子午線）上に並び、これを mer 形という。

3 個の B に 2 組以上の trans の組ができることはない（B は 3 個しかなく、2 組の trans には 4 頂点が必要）。

手順 3: 数える。 fac 形と mer 形の 2 種類なので、幾何異性体は $2$ 種類である。

正八面体の頂点を $\pm x,\pm y,\pm z$ とし、3 個の $\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$（A）と 3 個の $\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}$（B）の配置を数える。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 通りの置き方を回転群（位数 24）で分類する。(1) fac 形: 3 個の A が 1 つの面を占める（$\mathrm{A}$ が互いに cis で、3 個とも同じ頂点に隣り合う）。八面体の面は 8 個あり、A の面を決めると B は向かい側の面になる。回転で 8 通りはすべて同じ配置に重なる。(2) mer 形: 3 個の A が 1 つの子午線（互いに trans な 2 個と、その間の 1 個）を占める。$20-8=12$ 通りが mer 形で、これも回転ですべて重なる。したがって幾何異性体は fac 形と mer 形の 2 種類。検算: どちらも鏡面をもち（fac は $C_{3v}$、mer は $C_{2v}$）、鏡像異性体は生じないので、回転で重ね合わせられるものとして数えても鏡像で分けても 2 種類。