技能一覧 › 高校地学 地球の形と内部構造

地球楕円体と扁平率

赤道半径 $a$ と極半径 $b$ から扁平率 $\frac{a-b}{a}$ を求めたり、扁平率と一方の半径から他方の半径や差 $a-b$ を求めたりできる

前提

• 地球の形とジオイド （高校地学 地球の形と内部構造（知識））

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 赤道半径 $a$（大きいほう）と極半径 $b$（小さいほう）を確かめ、単位をそろえる

2. 扁平率を求めるなら、差 $a-b$ を計算し、赤道半径 $a$ で割る：$f=\frac{a-b}{a}$

3. 半径の差を求めるなら $a-b=fa$、極半径を求めるなら $b=a(1-f)$、赤道半径を求めるなら $a=\frac{b}{1-f}$ を使う

4. 扁平率を $\frac{1}{n}$ の形で答えるときは $n=\frac{a}{a-b}$ を計算する

5. 問題文で指定された丸め方・単位に合わせて答える

例題

よくある誤り

• 差を極半径で割って $f=\frac{a-b}{b}$ としてしまう誤り。例題では $\frac{6356.8}{21.3}=298.4\cdots$ となり $n=298$ と答えを誤る。正しくは赤道半径で割る $f=\frac{a-b}{a}$ で、$n=\frac{6378.1}{21.3}=299.4\cdots$ より $n=299$ である。

• 差の向きを逆にして $\frac{b-a}{a}$ とし、扁平率を負の値にしてしまう誤り。正しくは、地球は赤道方向に膨らんでいて $a>b$ なので、$f=\frac{a-b}{a}>0$ となる。

• 極半径 $b$ と扁平率 $f$ から赤道半径を求めるときに $a=b(1+f)$ としてしまう誤り。正しくは $b=a(1-f)$ を変形した $a=\frac{b}{1-f}$ である（$f$ が小さいと $b(1+f)$ は近い値になるが、等しくはない）。

• 扁平率 $\frac{1}{300}$ を「赤道半径が極半径より $300\mathrm{km}$ 長い」と読んでしまう誤り。正しくは、扁平率は単位のない割合で、$a-b=fa$ より、例えば $a=6378\mathrm{km}$ なら $a-b=\frac{6378}{300}\approx 21\mathrm{km}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  地球を、赤道方向にふくらんだ回転楕円体とみなす。赤道半径を $a$、極半径を $b$ とすると、扁平率は $\frac{a-b}{a}$ で表される。

  簡単のため、赤道半径を $a=6400\text{km}$、扁平率を $\frac{1}{320}$ とする。このとき、赤道半径と極半径の差 $a-b$ は何 km か。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  同じ経線上にある 2 地点 A, B で北極星の高度を測ったところ、2 地点の緯度の差は $4.5^{\circ }$ であった。また、A と B の間の経線に沿った距離は $500\mathrm{km}$ であった。

  まず、地球を球とみなして、この測定から地球の半径 $R$ を求める。

  次に、地球を回転楕円体とみなし、赤道半径を $a$、極半径を $b$ とする。扁平率 $\frac{a-b}{a}$ は $\frac{1}{300}$ であり、さきに求めた $R$ は $a$ と $b$ の平均 $\frac{a+b}{2}$ に等しいものとする。

  このとき、赤道半径と極半径の差 $a-b$ は何 $\mathrm{km}$ か。円周率は $\pi =3.14$ とし、小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  同じ経線（子午線）上にある 2 地点 A, B で緯度を測定したところ、A は北緯 $28.0^{\circ }$、B は北緯 $36.0^{\circ }$ であった。また、A と B の間の子午線に沿った距離は $890.1\mathrm{km}$ であった。

  この測定結果から、地球を球とみなして地球の半径を求める。さらに、この半径を地球の赤道半径 $a$ とみなし、極半径 $b$ を $6357\mathrm{km}$ として、地球の扁平率 $\frac{a-b}{a}$ を求めよ。答えは有効数字 2 桁の小数で答えよ。ただし、円周率は $3.14$ とする。