無機物質の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校化学無機物質

炭酸ナトリウムは工業的にはアンモニアソーダ法（ソルベー法）でつくられる。この方法は次の 5 つの反応からなる。
$NaCl + NH_{3} + CO_{2} + H_{2} O ⟶ NaHCO_{3} + NH_{4} Cl (1)$
$2 NaHCO_{3} ⟶ Na_{2} CO_{3} + H_{2} O + CO_{2} (2)$
$CaCO_{3} ⟶ CaO + CO_{2} (3)$
$CaO + H_{2} O ⟶ Ca(OH)_{2} (4)$
$Ca(OH)_{2} + 2 NH_{4} Cl ⟶ CaCl_{2} + 2 NH_{3} + 2 H_{2} O (5)$
ある工場では、反応 $(2)$ と反応 $(3)$ で発生した二酸化炭素をすべて反応 $(1)$ に用い、反応 $(5)$ で発生したアンモニアをすべて反応 $(1)$ に戻して再利用している。二酸化炭素の原料は反応 $(3)$ の石灰石だけで、外部から二酸化炭素は補給しない。各反応は完全に進み、物質の損失はないものとする。

炭酸カルシウムを質量パーセントで $90 %$ 含む石灰石（残りは反応しない不純物）を原料とするとき、炭酸ナトリウム $5.3 t$ を製造するのに必要な石灰石の質量は何 $t$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、原子量は $C = 12$ , $O = 16$ , $Na = 23$ , $Ca = 40$ とし、 $1 t = 1.0 \times 1 0^{6} g$ とする。

この問題で使うもの

多段階の工業的製法の量的関係（説明と入口の問題）
鉱石の純度と製錬で得られる金属の量（説明と入口の問題）
原子量・分子量・式量（説明と入口の問題）
物質量と質量・粒子の数（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

二酸化炭素とアンモニアは工場の中で再利用されるので、5 つの反応式をまとめて、外から入る物質と外へ出る物質だけの「全体の反応式」をつくろう。

ヒント 2

$Na_{2} CO_{3}$ $1 mol$ あたり、反応 $(1)$ には $CO_{2}$ が $2 mol$ 必要で、反応 $(2)$ からは $1 mol$ しか戻らない。足りない分を反応 $(3)$ で補う。

ヒント 3

全体の反応式は $2 NaCl + CaCO_{3} ⟶ Na_{2} CO_{3} + CaCl_{2}$ となる。 $Na_{2} CO_{3}$ $5.3 t$ は $5.0 \times 1 0^{4} mol$ である。

答えと解説

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5.6

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解説を読む

全体の反応式をつくる

$Na_{2} CO_{3}$ $1 mol$ をつくるときの各物質の出入りを考える。

反応 $(2)$ で $Na_{2} CO_{3}$ $1 mol$ をつくるには $NaHCO_{3}$ が $2 mol$ 必要で、このとき $CO_{2}$ が $1 mol$ 発生する。
$NaHCO_{3}$ $2 mol$ を反応 $(1)$ でつくるには、 $CO_{2}$ が $2 mol$ 必要で、 $NH_{4} Cl$ が $2 mol$ できる。
反応 $(1)$ に必要な $CO_{2}$ $2 mol$ のうち、 $1 mol$ は反応 $(2)$ から戻るので、残りの $1 mol$ を反応 $(3)$ で補う。つまり $CaCO_{3}$ が $1 mol$ 必要で、 $CaO$ が $1 mol$ できる。
この $CaO$ $1 mol$ は反応 $(4)$ で $Ca(OH)_{2}$ $1 mol$ になり、反応 $(5)$ で $NH_{4} Cl$ $2 mol$ と反応して $NH_{3}$ $2 mol$ を再生する。これは反応 $(1)$ で使った $NH_{3}$ $2 mol$ とちょうど等しく、アンモニアの出入りもつり合う。

実際に $(1) \times 2 + (2) + (3) + (4) + (5)$ をつくると、 $NH_{3}$ ・ $CO_{2}$ ・ $NaHCO_{3}$ ・ $NH_{4} Cl$ ・ $CaO$ ・ $Ca(OH)_{2}$ ・ $H_{2} O$ が消えて
$2 NaCl + CaCO_{3} ⟶ Na_{2} CO_{3} + CaCl_{2}$
となる。したがって、 $Na_{2} CO_{3}$ $1 mol$ をつくるのに $CaCO_{3}$ が $1 mol$ 必要である。

数値を求める

$Na_{2} CO_{3}$ のモル質量は $23 \times 2 + 12 + 16 \times 3 = 106 g/mol$ なので、製造する $Na_{2} CO_{3}$ の物質量は
$\frac{5.3 \times 1 0 ^{6}}{106} = 5.0 \times 1 0^{4} mol$
必要な $CaCO_{3}$ も $5.0 \times 1 0^{4} mol$ で、 $CaCO_{3}$ のモル質量は $40 + 12 + 16 \times 3 = 100 g/mol$ なので
$5.0 \times 1 0^{4} \times 100 = 5.0 \times 1 0^{6} g = 5.0 t$
石灰石の $90 %$ が $CaCO_{3}$ なので、必要な石灰石の質量を $x t$ とすると
$0.90 x = 5.0 x = \frac{5.0}{0.90} = 5.55 \dots t$
有効数字 2 桁で $5.6 t$ である。

別解

Na $_{2}$ CO $_{3}$ のモル質量は $23 \times 2 + 12 + 16 \times 3 = 106 g/mol$ 。 $5.3 t = 5.3 \times 1 0^{6} g$ の物質量は $\frac{5.3 \times 1 0 ^{6}}{106} = 5.0 \times 1 0^{4} mol$ 。
反応 (2) より NaHCO $_{3}$ は $2 \times 5.0 \times 1 0^{4} = 1.0 \times 1 0^{5} mol$ 必要で、このとき CO $_{2}$ が $5.0 \times 1 0^{4} mol$ 発生する。
反応 (1) では NaHCO $_{3}$ 1 mol につき CO $_{2}$ 1 mol を使うので、CO $_{2}$ は $1.0 \times 1 0^{5} mol$ 必要。
反応 (2) の CO $_{2}$ だけでは $5.0 \times 1 0^{4} mol$ 不足するので、反応 (3) の CO $_{2}$ が $5.0 \times 1 0^{4} mol$ 必要。すなわち CaCO $_{3}$ は $5.0 \times 1 0^{4} mol$ 。
確認: 反応 (1) で生じる NH $_{4}$ Cl は $1.0 \times 1 0^{5} mol$ 。反応 (5) で NH $_{3}$ をこれと同じ $1.0 \times 1 0^{5} mol$ 再生するには Ca(OH) $_{2}$ が $5.0 \times 1 0^{4} mol$ 必要で、これは CaO、CaCO $_{3}$ $5.0 \times 1 0^{4} mol$ に対応して反応 (3) の量と一致し、矛盾がない。
CaCO $_{3}$ のモル質量は $40 + 12 + 48 = 100 g/mol$ なので質量は $5.0 \times 1 0^{4} \times 100 = 5.0 \times 1 0^{6} g = 5.0 t$ 。
石灰石は CaCO $_{3}$ を $90 %$ 含むので、必要な石灰石は $\frac{5.0}{0.90} = 5.55 \dots t$ 。有効数字 2 桁で $5.6 t$ 。

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