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遺伝情報とその発現の問題

難易度 3共通テストレベル高校生物遺伝情報とその発現

アデニン（A）とシトシン（C）の 2 種類の塩基だけからなる、非常に長い人工 RNA を合成した。この RNA では、どの位置の塩基も他の位置とは無関係に、確率 $p$ で A、確率 $1 - p$ で C になっている（ $0 < p < 1$ ）。ただし、 $p$ の値は実験者にはわからない。

この RNA を、開始コドンがなくても翻訳を始める無細胞翻訳系に加えてポリペプチドを合成させた。A と C だけからなる 8 種類のコドンが指定するアミノ酸は、次の表のとおりである（これらの中に終止コドンはない）。

コドン	アミノ酸
AAA	リシン（Lys）
AAC	アスパラギン（Asn）
ACA	トレオニン（Thr）
ACC	トレオニン（Thr）
CAA	グルタミン（Gln）
CAC	ヒスチジン（His）
CCA	プロリン（Pro）
CCC	プロリン（Pro）

合成されたポリペプチドを調べたところ、取り込まれたリシンとヒスチジンの個数の比は $Lys : His = 9 : 1$ であった。

各コドンが翻訳される回数は、そのコドンが RNA 中に現れる確率に比例し、各アミノ酸の取り込まれた個数はそのアミノ酸を指定するコドンが翻訳される回数の合計に等しいものとする。このとき、ポリペプチドに取り込まれたアミノ酸全体の個数のうち、トレオニンの個数が占める割合を分数で求めよ。

この問題で使うもの

人工 RNA のコドンの出現確率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コドンの 3 つの塩基はそれぞれ独立に A または C になるので、コドンの出現確率は各塩基の確率の積で表せる。A の確率を $p$ 、C の確率を $q = 1 - p$ として、まず実験結果から $p$ を求めよう。

ヒント 2

リシンは AAA だけ、ヒスチジンは CAC だけが指定する。したがって $Lys : His = p^{3} : p q^{2}$ であり、これが $9 : 1$ になる。

ヒント 3

$p^{2} : q^{2} = 9 : 1$ から $p = \frac{3}{4}$ 、 $q = \frac{1}{4}$ が得られる。トレオニンを指定するコドンは ACA と ACC の 2 つなので、その出現確率 $p^{2} q + p q^{2}$ を計算すればよい。

答えと解説

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\frac{3}{16}

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解説を読む

方針まず、実験結果（Lys と His の比）から A の割合 $p$ を求める。次に、トレオニンを指定するコドンが現れる確率を計算する。

各コドンの出現確率

各位置の塩基は独立に決まるので、3 塩基からなるコドンの出現確率は、それぞれの塩基の確率の積になる。 $q = 1 - p$ とおくと、

AAA： $p^{3}$
AAC, ACA, CAA：それぞれ $p^{2} q$
ACC, CAC, CCA：それぞれ $p q^{2}$
CCC： $q^{3}$

である。8 種類すべてアミノ酸を指定するコドンで、終止コドンはない。

$p$ を求める

リシンを指定するのは AAA だけ、ヒスチジンを指定するのは CAC だけである。取り込まれた個数はコドンの出現確率に比例するので、

$Lys : His = p^{3} : p q^{2} = p^{2} : q^{2}$

となる。これが $9 : 1$ なので $\frac{p ^{2}}{q ^{2}} = 9$ であり、 $p > 0, q > 0$ より $\frac{p}{q} = 3$ 、すなわち $p = 3 q$ である。 $p + q = 1$ と合わせて

$p = \frac{3}{4}, q = \frac{1}{4}$

が得られる。

トレオニンの割合

トレオニンを指定するコドンは ACA と ACC の 2 種類なので、その出現確率の合計は

$p^{2} q + p q^{2} = pq (p + q) = pq = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

である。8 種類のコドンの出現確率の合計は $(p + q)^{3} = 1$ であり、すべてのコドンがいずれかのアミノ酸に翻訳されるので、この値がそのまま、取り込まれたアミノ酸全体に占めるトレオニンの割合になる。

確認 $p = \frac{3}{4}$ のとき、各アミノ酸の割合を $\frac{1}{64}$ を単位として表すと、Lys 27、Asn 9、Thr $9 + 3 = 12$ 、Gln 9、His 3、Pro $3 + 1 = 4$ で、合計は 64 となる。Lys:His $= 27 : 3 = 9 : 1$ も実験結果と一致する。

よって、求める割合は $\frac{3}{16}$ である。

別解

各コドンの出現確率は、3 つの塩基が独立なので積になる。

Lys（AAA）の確率は $p^{3}$ 。
His（CAC）の確率は $(1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) = p (1 - p)^{2}$ 。

取り込まれた個数の比は確率の比に等しいので、
$p^{3} : p (1 - p)^{2} = 9 : 1$
$\Rightarrow p^{2} / (1 - p)^{2} = 9$
$\Rightarrow p / (1 - p) = 3$ （ $p > 0$ , $1 - p > 0$ より正の値をとる）
$\Rightarrow p = 3/4$ 。

トレオニンは ACA と ACC の 2 つのコドンで指定される。
確率は $p (1 - p) \cdot p + p (1 - p) (1 - p) = p (1 - p) {p + (1 - p)} = p (1 - p) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$ 。

8 種類のコドンの確率の合計は $(p + (1 - p))^{3} = 1$ で、終止コドンはない。したがって、取り込まれたアミノ酸全体に占めるトレオニンの割合は $3/16$ 。

検算として、8 種類のコドンの確率を $p = 3/4$ で求める。AAA は 27/64、AAC は 9/64、ACA は 9/64、ACC は 3/64、CAA は 9/64、CAC は 3/64、CCA は 3/64、CCC は 1/64。合計は 64/64＝1。Lys:His＝27:3＝9:1 で条件を満たす。Thr は (9+3)/64＝12/64＝3/16 で一致する。

コドン	アミノ酸
AUG	メチオニン（Met）
UCU, AGU	セリン（Ser）
GGA, GGC	グリシン（Gly）
CAU, CAC	ヒスチジン（His）
CAA	グルタミン（Gln）
UUG, CUG	ロイシン（Leu）
CCU, CCC, CCA, CCG	プロリン（Pro）
AAG	リシン（Lys）
AAC	アスパラギン（Asn）
ACU	トレオニン（Thr）
UGC	システイン（Cys）
GAC	アスパラギン酸（Asp）
UAA, UAG, UGA	終止コドン

アミノ酸など	指定するコドンの種類の数
メチオニン	1
アラニン	4
リシン	2
セリン	6
トリプトファン	1
グリシン	4
終止コドン	3

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