データの活用の問題

平均値の条件 9 人の平均値が $7$ 点だから、合計は $7\times 9=63$（点）である。$a,b$ 以外の 7 人の合計は
$$4+7+9+5+7+6+10=48$$
なので
$$a+b=63-48=15.$$

候補をしぼる $a,b$ は $0$ 以上 $10$ 以下の整数で $a<b$ だから、$b\le 10$ より $a=15-b\ge 5$ である。また $a<b$ より $a<7.5$ である。よって、考えられる組は
$$(a,b)=(5,10),(6,9),(7,8)$$
の 3 通りである。

最頻値の条件 $a,b$ 以外の 7 人の得点では、$7$ 点が 2 人、$4,5,6,9,10$ 点がそれぞれ 1 人である。

• $(5,10)$ のとき：$5$ 点、$7$ 点、$10$ 点がどれも 2 人になり、最頻値が $7$ 点だけにならない。
• $(6,9)$ のとき：$6$ 点、$7$ 点、$9$ 点がどれも 2 人になり、最頻値が $7$ 点だけにならない。
• $(7,8)$ のとき：$7$ 点が 3 人で、ほかの得点はどれも 1 人だから、最頻値は $7$ 点だけになる。

したがって $(a,b)=(7,8)$ である。

平均値が 7 点なので 9 人の合計は $7\times 9=63$。既知の 7 人の合計は $4+7+9+5+7+6+10=48$。よって $a+b=63-48=15$。

$0\le a<b\le 10$ の整数で $a+b=15$ となるのは $(a,b)=(5,10),(6,9),(7,8)$。

• $(5,10)$: 得点は 4,5,5,6,7,7,9,10,10。5 点・7 点・10 点がいずれも 2 人で、最頻値が 7 点だけにならない。不適。
• $(6,9)$: 得点は 4,5,6,6,7,7,9,9,10。6 点・7 点・9 点がいずれも 2 人で不適。
• $(7,8)$: 得点は 4,5,6,7,7,7,8,9,10。7 点が 3 人で、ほかはすべて 1 人以下。最頻値は 7 点だけで適する。

よって $(a,b)=(7,8)$。検算: 合計 $4+5+6+7+7+7+8+9+10=63$、平均 $7$。