データの活用の問題

$a,b$ 以外の $8$ 個の値を小さい順に並べると
$$42,48,53,55,59,61,66,70$$
である。データは $10$ 個なので、前半は小さい方から $5$ 個、後半は大きい方から $5$ 個であり、
- 第 $1$ 四分位数は前半 $5$ 個の中央値、つまり小さい順に $3$ 番目の値
- 中央値は小さい順に $5$ 番目と $6$ 番目の値の平均

である。

第 $1$ 四分位数の条件から $a$ を求める

小さい順に $3$ 番目の値が $50$ である。わかっている $8$ 個の値の中に $50$ はないので、$a$ か $b$ のどちらかが $50$ である。

$b=50$ とすると $a<50$ である。
- $a<48$ のとき、$50$ より小さい値が $42,48,a$ の $3$ 個あるので、$3$ 番目の値は $50$ より小さくなる。
- $48\leqq a<50$ のとき、小さい順に $42,48,a,50,\cdots$ となり、$3$ 番目の値は $a$ で $50$ ではない。

どちらも条件に合わないので、$a=50$ である。このとき $b>50$ で、$50$ より小さい値は $42,48$ の $2$ 個だけなので、$3$ 番目の値は $50$ となり条件に合う。

中央値の条件から $b$ を求める

$b$ 以外の $9$ 個を小さい順に並べると
$$42,48,50,53,55,59,61,66,70$$
である。ここに $b(b>50)$ を加えたときの $5$ 番目と $6$ 番目の値を考える。中央値が $56$ なので、$5$ 番目と $6$ 番目の和は $56\times 2=112$ である。
- $50<b\leqq 53$ のとき：$5$ 番目は $53$、$6$ 番目は $55$ で、和は $108$。条件に合わない。
- $53<b\leqq 55$ のとき：$5$ 番目は $b$、$6$ 番目は $55$ で、和は $b+55\leqq 110$。条件に合わない。
- $55<b<59$ のとき：$5$ 番目は $55$、$6$ 番目は $b$ で、和は $55+b$。$55+b=112$ より $b=57$ で、$55<57<59$ を満たす。
- $b\geqq 59$ のとき：$5$ 番目は $55$、$6$ 番目は $59$ で、和は $114$。条件に合わない。

よって $b=57$ である。

確かめ

小さい順に $42,48,50,53,55,57,59,61,66,70$。前半 $42,48,50,53,55$ の中央値は $50$、中央値は $\frac{55+57}{2}=56$ となり、条件に合う。

よって、$(a,b)=(50,57)$ である。

データは 10 個（偶数）。小さい順に並べたとき、中央値は 5 番目と 6 番目の平均、第 1 四分位数は前半 5 個（1〜5 番目）の中央値、すなわち 3 番目の値である。

$a,b$ 以外の 8 個を小さい順に並べると $42,48,53,55,59,61,66,70$。

【第 1 四分位数 $=50$ から】3 番目の値が $50$ である。$50$ は $a,b$ 以外にないので、$a$ か $b$ のどちらかが $50$ である。
- $b=50$ とすると $a<b$ より $a<50$。すると $50$ 未満の値が $42,48,a$ の 3 個になり、3 番目は $50$ より小さく不適。
- $a=50$ とすると、$50$ 未満の値は $42,48$ の 2 個で、3 番目が $50$ になる。このとき $b>50$。適する。

よって $a=50$。

【中央値 $=56$ から】$5$ 番目と $6$ 番目の和が $112$。小さい順の 1〜3 番目は $42,48,50$。残りは $53,55,59,61,66,70$ と $b$ で、全体の 5 番目・6 番目は、この 7 個の小さいほうから 2 番目・3 番目である。
- $b\le 53$：2 番目・3 番目は $53,55$ で和は $108$。不適。
- $53\le b\le 55$：$b,55$ で和は $b+55=112$ より $b=57$。範囲外で不適。
- $55\le b\le 59$：$55,b$ で和は $55+b=112$ より $b=57$。範囲に入るので適する。
- $b\ge 59$：$55,59$ で和は $114$。不適。

よって $b=57$。

【検算】$a=50,b=57$ のとき小さい順は $42,48,50,53,55,57,59,61,66,70$。前半 5 個 $42,48,50,53,55$ の中央値は $50$、中央値は $\frac{55+57}{2}=56$。条件を満たし、$a<b$ も成り立つ。

答え $(a,b)=(50,57)$