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技能一覧 › 中学数学 データの活用

代表値や四分位数の条件から未知のデータを求める

平均値・中央値・最頻値・四分位数などの条件から、データの中の未知の値や人数を、合計の式や並び順の場合分けを使って求められる

前提

この技能までの道筋（15 技能）
算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
  1. 平均と合計 （算数 いろいろな文章題）
  2. 平均値・中央値・最頻値 （中学数学 データの活用）
  3. 四分位数と四分位範囲 （中学数学 データの活用）
  4. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  7. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  8. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  9. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  10. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  11. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  12. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  13. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  14. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  15. 連立方程式の解き方（加減法・代入法） （中学数学 方程式）

説明

データの一部の値や人数がわからなくても、「平均値が〜」「中央値が〜」「第 1 四分位数が〜」のような条件が与えられていれば、そこからわからない値を逆に求められるようになります。平均値の条件は合計の式（方程式）に、中央値や四分位数の条件は「未知の値が小さい順で何番目に来るか」の場合分けに直して解きます。

なぜそうしてよいのか

平均値は（合計）（個数）なので、平均値と個数がわかれば合計は（平均値）（個数）と決まります。未知の値を や とおいて合計を式で表せば、「合計の式 ＝ 平均値 個数」という方程式になります。未知の値が 2 つあり、人数の合計と平均の両方の条件があるときは、連立方程式にすれば求められます。

一方、中央値や四分位数は「小さい順に並べたとき何番目の値か」で決まるので、合計の式にはなりません。未知の値 が並びのどこに入るかによって、真ん中に来るデータが変わるからです。そこで、わかっている値の間のどこに が入るかで場合を分け、それぞれの場合で中央値（や四分位数）を の式または数で表します。条件の値と等しくなる場合を探し、求めた がはじめに考えた場合の範囲に本当に入っているかを確かめます。範囲に入っていなければ、その答えは使えません。

最頻値の条件は「その値がほかのどの値よりも多く出てくる」ということなので、未知の値がその値と等しい（または特定の回数になる）ことから求めます。

手順

  1. 未知の値を文字でおき、わかっているデータを小さい順に並べる

  2. 平均値の条件なら、 として方程式（未知数が 2 つなら連立方程式）を立てて解く

  3. 中央値・四分位数の条件なら、未知の値がわかっている値のどの間に入るかで場合を分け、それぞれの場合の中央値・四分位数を表す

  4. 条件の値と等しくなる場合を選んで文字の値を求め、その値がその場合の範囲に入っているか確かめる

例題

6 人の生徒の小テストの得点は、次のとおりであった。

このデータの中央値が 10 点であるとき、 の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: わかっている 5 つの値は小さい順に 。データは全部で 6 個（偶数）なので、中央値は小さい順に並べた 3 番目と 4 番目の平均である。

手順 3: がどこに入るかで場合を分ける。
- のとき: 3 番目は か のうちの 、4 番目は となり（並びは または ）、中央値は
- のとき: 並びは で、中央値は
- のとき: 並びは で、中央値は
- のとき: 並びは で、中央値は

手順 4: 中央値が 10 になりうるのは、 の場合で のとき。これを解くと より 。 は の範囲に入っているので条件に合う。 の範囲では中央値は 以上 以下なので 10 にならない。

よって 。（確かめ: 並びは で、中央値は 。）

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題