データの活用の問題

平均値の条件

$6$ 人の記録の合計は $23\times 6=138$ (m) である。わかっている $4$ 人の合計は
$$18+25+21+30=94$$
なので、
$$a+b=138-94=44$$

$a<b$ で $a+b=44$ だから、$a<22<b$ である。$a,b$ は整数なので、$a\leqq 21$、$b\geqq 23$ となる。

中央値の条件

データは $6$ 個なので、中央値は小さい順に並べたときの $3$ 番目と $4$ 番目の値の平均である。

$22$ より小さい値は $18,21,a$ の $3$ 個、$22$ より大きい値は $25,30,b$ の $3$ 個である。
したがって、
- $3$ 番目の値は $18,21,a$ のうち最も大きい値で、$a\leqq 21$ より $21$
- $4$ 番目の値は $25,30,b$ のうち最も小さい値

である。中央値が $22.5$ なので、$3$ 番目と $4$ 番目の和は $22.5\times 2=45$。よって $4$ 番目の値は $45-21=24$ である。

$25,30,b$ のうち最も小さい値が $24$ なので、$b=24$。すると $a=44-24=20$ となり、$a\leqq 21$ も満たす。

確かめ

記録は $18,25,21,30,20,24$ で、合計 $138$、平均値 $23$。小さい順に $18,20,21,24,25,30$ なので中央値は $\frac{21+24}{2}=22.5$ となり、条件に合う。

よって、$(a,b)=(20,24)$ である。

平均値が 23 m なので 6 人の合計は $23\times 6=138$。わかっている 4 人の合計は $18+25+21+30=94$ なので $a+b=138-94=44$。

$a<b$ より $a<22<b$、つまり $a\le 21$、$b\ge 23$。

中央値が 22.5 m なので、小さい順に並べたときの 3 番目と 4 番目の合計は $22.5\times 2=45$。

わかっている値は 18, 21, 25, 30。$b\ge 23$ に注意して場合分けする。

• $a\le 18$ のとき：$b=44-a\ge 26$ となり、並びは $a,18,21,25,\dots$ で 3 番目と 4 番目は 21 と 25。合計 46 で不適。
• $19\le a\le 21$ のとき：並びは 18, $a$, 21, ... となる（$a=21$ でも同じ）。$b=44-a$ は 23 から 25 で、4 番目は $b$ か 25。
• $a=21$、$b=23$：3 番目 21、4 番目 23 で合計 44。不適。
• $a=20$、$b=24$：並びは 18, 20, 21, 24, 25, 30 で 3 番目 21、4 番目 24、合計 45。適する。
• $a=19$、$b=25$：並びは 18, 19, 21, 25, 25, 30 で 3 番目 21、4 番目 25、合計 46。不適。

よって $(a,b)=(20,24)$。

検算：18 + 20 + 21 + 24 + 25 + 30 = 138 で平均 23 m。中央値は $(21+24)÷2=22.5$ m。条件を満たす。